- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида:
где функции действительны и определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения этой системы, или в более компактной записи:
,
где , а .
Для нахождения вектора-корня иногда можно использовать метод итерации
.
Если система уравнений задана в общем виде ,
где - вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности изолированного вектора-корня , то ее записывают в эквивалентном виде
, (4.3)
где - итерирующая вектор-функция, которую ищут в виде
.
Матрица выбирается так (см. выше). Предполагается, что матрица неособенная.
Подставив в (4.3), получим итерационную формулу
.
Глава 5. Интерполяция
Вычисление значений функции y=f(x) – задача, с которой постоянно приходится сталкиваться на практике. В силу различных причин вычисление f(x)часто бывает затруднительно, например функция задана таблично, а вычисление необходимо проводить в точках не совпадающих с табличными. Вычисление f(x) может быть громоздким, требовать много операций. В таких условиях целесообразно заменить f(x) некоторой близкой к ней функцией g(x), которая вычисляется быстро и надежно, а погрешность приближения f(x)-g(x) достаточно мала. Требование совпадения функции g(x) с функцией f(x) в некоторых фиксированных точках приводит к задаче интерполяции.
5.1. Постановка задачи интерполирования
Пусть функция задана на отрезке в точках , i=0,1,2..n, называются узлами интерполяции.
Рис 5.1. Постановка задачи интерполирования
Требуется провести интерполирующую функцию определенного класса, проходящую через точки: , в узлах интерполяции i=1,2..n.
Пусть F(x)- это многочлен степени не выше n. Обозначим F(x) через Pn(x), тогда
В такой постановке задача имеет единственное решение. Полученную формулу y= Pn(x) используют для вычисления приближенного значения функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Эта операция называется интерполирование.
Если , то интерполирование будет в узком смысле, а если то интерполирование в широком смысле (экстраполирование).
5.2. Конечные разности
Пусть дана функция и фиксированная величина приращения аргумента . Конечной разностью первого порядка функции y называется выражение. Конечной разностью второго порядка называется: . Kонечной разностью n-го порядка называется . Конечные разности обладают следующими свойствами :
-
;
-
;
-
.
Для малых h можно приближенно заменять производные через конечные разности: , ().
Часто приходится рассматривать функции у=f(x), заданные табличными значениями yi=f(xi), для системы равноотстоящих точек xi (i=0,1,2,…), где
. Конечные разности последовательности yi определяются соотношениями
Пример 5.1 Построить конечные разности для функции с шагом .
Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной (таблица 5.1) или диагональной (таблица 5.2)
Таблица 5.1.
Горизонтальная таблица разностей
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
…. |
… |
… |
… |
… |
… |
Таблица 5.2.
Диагональная таблица конечных разностей
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|