Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Пособие

[Введите подзаголовок документа]

Введение

Данное пособие написано в соответствии с программой по дисциплине «Вычислительные методы», изучаемой студентами технических вузов. Значительная часть материала пособия была использована авторами при чтении курса по численным методам в ТюмГНГУ для студентов очной и заочной форм обучения различных специальностей.

Книга состоит из 9 глав. Эти главы охватывают следующие разделы программы: методы численного решения систем линейных уравнений; методы численного решения систем нелинейных уравнений и систем; среднеквадратичное приближение функций; интерполирование функций; численное интегрирование; численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

В каждой главе приводятся необходимые теоретические сведения: основные теоремы, определения, формулы, различные вычислительные методы, а также примеры, иллюстрирующие применение описанных методов.

Каждая тема содержит: вычислительный алгоритм; теоретические обоснования его применения; условия окончания вычислительного процесса; примеры, полностью или частично выполненные «вручную» или с применением пакета Mathсad.

Большое количество подробно решенных примеров также способствует более полному и глубокому овладению численными методами.

В последние годы появился целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы.

Это не могло не повлиять на изменение подходов к преподаванию курса «Вычислительные методы», содержание которого является одной из наиболее важных составляющих подготовки современного инженера.

Пакет Mathсad более популярен в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартов математических обозначений, а, значит, вид документа на экране максимально приближен к общепринятой математической нотации. Mathсad является средой визуального программирования, поэтому не требует знания специфического набора команд.

Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран нами для обучения студентов численным методам. При изложении основного материала мы ориентируемся на читателей уже имеющих некоторый навык работы с данным пакетом.

Отбор численных методов, рассматриваемых в пособии, соответствует содержанию рабочей программы специальностей 140200.62 «Электроэнергетика», 140211.65 «Электроснабжение» ( бакалавр техники и технологии). Пособие вполне может быть использовано студентами других специальностей, изучающих данную дисциплину в Тюменском государственном нефтегазовом университете. Оно может также оказаться полезным преподавателям, научным работникам, инженерам, использующим в своей деятельности вычислительные методы.

Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи

1.1. Источники и классификация погрешностей

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1. математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2. применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3. при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1. неустранимой погрешностью,

2. погрешностью метода,

3. вычислительной погрешностью.

Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:

а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели

Дадим иллюстрацию этих определений. Пусть у нас имеется маятник (рис. 1.1.), начинающий движение в момент t = t₀ . Требуется предсказать угол отклонения φ от вертикали в момент t₁.

Рис. 1.1. - Маятник

Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого маятника, берется в виде:

, (1.1)

где l — длина маятника, g — ускорение силы тяжести, φ — коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения l, g, µ, t₀, φ(t₀), φ΄(t₀). Название этой погрешности — «неустранимая» — соответствует ее существу, она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания физической задачи и более точного определения параметров. Дифференциальное уравнение (1.1) не решается в явном виде; для его решения требуется применить какой-либо численный метод. Вследствие этой причины и возникает погрешность метода.

Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях. Введем формальные определения.

Пусть I — точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае — реальный угол отклонения маятника φ в момент времени t₁), II — значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае — значение φ(t₁) решения уравнения (1.1)),

II_h-— решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, II_h^*—приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Тогда

Ρ₁ = II—I — неустранимая погрешность,

Ρ₂ = II_h —I — погрешность метода,

Ρ₃ = II_h^*—II_h — вычислительная погрешность.

Полная погрешность Ρ₀ получается по формуле

Ρ₀= Ρ₁+ Ρ₂+ Ρ₃