5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
Пусть точки xi
будут равноотстоящими. Дано: отрезок
,
,
.
Тогда:
,
,
-
шаг интерполяции.
Требуется: подобрать
полином
,
степени не выше n,
принимаю-щий в точках значения
или
.
Ньютон находил
решение в виде полинома
,
где
.
Для практического
использования удобно положить
,
тогда
.
…
Получим:
- первый многочлен Ньютона.
Полученную формулу
выгодно использовать для интерполирования
функции
в окрестности начального значения x0,
где q
мало по абсолютной величине.
При n=1 получим формулу линейного интерполирования
Остаточный член
первой интерполирующей формулы Ньютона
имеет вид:
,
где
- некоторая внутренняя точка наименьшего
промежутка, содержащего все узлы
и
точку
.
При наличии
дополнительного узла
на практике пользуются более удобной
приближенной формулой:
.
5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть имеем систему
значений функции
для равноотстоящих значений аргумента
,
где
.
Построим интерполирующий полином
следующего вида:
,
где
.
Подставляя эти значения в формулу и
полагая
получим:
- второй многочлен Ньютона.
Остаточный член
второй интерполирующей формулы Ньютона
имеет вид:
,
где
- некоторая внутренняя точка наименьшего
промежутка, содержащего все узлы
и
точку
.
Для неограниченной
таблицы значений функции y
число n
в интерполяционной
формуле может быть любым, поэтому
практически его выбирают так, что бы
разность
была
постоянной с заданной степенью точности.
В этом случае остаточный член удобней
вычислять по формуле:
.
Если таблица значений функции конечна, то число n не может быть больше числа значений функции минус единица.
Пример 5.2. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью первого или второго интерполяционного многочлена Ньютона . Вычислить остаточный член.
Дана таблица значений функции yi с постоянным шагом 0,005
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
1.215 |
0.106044 |
|
1.220 |
0.106491 |
|
1.225 |
0.106935 |
|
1.230 |
0.107377 |
|
1.235 |
0.107818 |
|
1.240 |
0.108257 |
|
1.245 |
0.108696 |
|
1.250 |
0.109134 |
|
1.255 |
0.109571 |
|
1.260 |
0.110008 |
|
|
|
Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента
x1 = 1.2173; x2 = 1.253; x3 = 1.210; x4 = 1.270.
Составим таблицу конечных разностей.
-
i
xi
yi
yi
2yi
3yi
1
1.215
0.106044
0.000447
-0.000003
0,000001
2
1.220
0.106491
0.000444
-0.000002
0,000001
3
1.225
0.106935
0.000442
-0.000001
-0,000001
4
1.230
0.107377
0.000441
-0.000002
0,000002
5
1.235
0.107818
0.000439
0
-0,000001
6
1.240
0.108257
0.000439
-0.000001
0
7
1.245
0.108696
0.000438
-0.000001
0,000001
8
1.250
0.109134
0.000437
0
9
1.255
0.109571
0.000437
-
10
1.260
0.110008
-
-
При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона №1:
где q = (x-x0)/h.
Если x
= 1.2173, то
q
= (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;
P1(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250
Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;
P1(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597
P2(1.210)= P1(1.210)+ R1=0.105600
При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона:
где q = (x-xn)/h.
Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;
P1(1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968
Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;
P1(1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882
Ответ: f (1.2173) 0.106250; f (1.253) · 0.109397; f (1.210) 0.105597;
f (1.270) 0.110882.