- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
8.7. Квадратурная формула Гаусса
Полиномы вида называются полиномами Лежандра.
Свойства этих полиномов:
-
, ;
-
, где - любой полином степени k, меньшей n;
-
полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале .
Первые пять полиномов Лежандра:
Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула
(8.14)
была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Так как в нашем распоряжении имеются 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень полинома в общем случае равна N=2n-1.
Для обеспечения равенства (8.14) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь .
Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений:
(8.15)
Система (8.15) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности.
Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (8.15) для них должны быть справедлива формула (8.14) и .
С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства:
при ,
поэтому
(8.16).
Равенства (8.16) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (8.14) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства 3, эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений системы (8.15) коэффициенты Аi (i = 1, 2, …, n). Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда
и, следовательно, определяются однозначно.
Формула (8.14), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (8.15), называется квадратурной формулой Гаусса.
Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим:
, (8.16)
где , - нули полинома Лежандра , т.е. .
Остаточный член формулы Гаусса (8.16) с n узлами выражается следующим образом:
.
Отсюда получаем:
,
,
,
,
.
Выведем квадратурную формулу Гаусса для случая трех ординат. Полином Лежандра третьей степени есть
.
Приравнивая этот полином нулю, находим:
, , .
Для определения коэффициентов в силу системы (8.15) имеем:
Отсюда: , .
Следовательно, .
Таблица 8.2
Элементы формулы Гаусса
n |
t |
ti |
Ai |
1 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1;2 |
±0.57735027 |
1 |
3 |
1;3 2 |
±0.77459667 0 |
0.55555556 0.88888889 |
4 |
4;1 3;2 |
±0.86113631 ±0.33998104 |
0.34785484 0.65214516 |
5 |
5;1 4;2 3 |
±0.90617985 ±0.53846931 0 |
0.23692688 0.47862868 0.56888889 |
6 |
6;1 5;2 4;3 |
±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 |
0.17132450 0.36076158 0.46791394 |
7 |
7;1 6;2 5;3 4 |
±0.94910791 ±0.74153119 ±0.40584515 0 |
0.12948496 0.27970540 0.38183006 0.41795918 |
Пример 8.4 Вычислить интеграл из примера 8.3. по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек. Оценить точность вычислений.
Метод Гаусса для
4 точек
Метод Гаусса для
5 точек
В ответе сохраняем шесть верных знаков.
Ответ: 0,423195
Рис. 8.4. Решение примера 8.3 в Mathcad