- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
7.5. Метод выравнивания
К линейной функции можно привести любую функцию вида ψ(y)=aּφ(x)+b, для этого достаточно сделать замену переменных, z=ψ(y), t=φ(x). Тогда мы получим z=aּt+b.
Рассмотрим показательную функцию .
Прологарифмируем это равенство. Получим ln(y)=ln(a)+x ln(b). Сделаем замену переменных z= ln(y), t=x и обозначим А= ln(b) B= ln(a). После замены получим z=A t+b.
Аналогично делаются замены и для других функций из таблицы.
Таблица 7.1.
Таблица замен
№ |
Вид функции |
Замена переменных |
Характерные точки |
Отклонения |
1. |
|
|
|
|
2. |
||||
3. |
||||
4. |
||||
5. |
||||
6. |
||||
7. |
, , .
, , .
- табличное значение для xар;
- табличное значение для хгеом;
- табличное значение для хгарм.
В таблице может не оказаться точек тогда точки , доопределяют по соседним точкам таблицы с помощью линейной интерполяции.
Для аналитических кривых существуют характерные точки, которые лежат на этих кривых. Например, если две точки принадлежат прямой, то и точка с координатами (,) принадлежит той же прямой, если две точки принадлежат гиперболе, то и точка (xар,yгарм) также принадлежат этой гиперболе. В таблице через обозначено отклонение табличного значения , соответствующего xар, от ординаты характерной точки, через - отклонение табличного от ординаты характерной точки yгарм и т.д.
Остальные находятся аналогично, в зависимости от характерных точек. Функция, для которой примет наименьшее значение и будет наиболее подходящей. После соответствующей замены переменных применяют метод наименьших квадратов.
Пример 7.1
Бомба «Рейда» это техническое устройство для изучения легкоиспаряющихся жидкостей. В эксперименте на бомбе «Рейда» при постоянной температуре измеряется манометром избыточное давление паров нефти при различных соотношениях объёмов газовой и жидкой фаз. Определить эмпирическую зависимость давления паров нефти от соотношения объёмов газовой и жидкой фаз методом наименьших квадратов. Набор экспериментальных данных представлен в таблицах
Для того, чтобы выбрать наиболее подходящую зависимость построим график по табличным данным
Можно предположить, что это будет :
-
показательная функция (строка 2 таблицы 7.1),
-
степенная функция (строка 5 таблицы 7.1),
-
дробно–рациональная функция (строка 3 таблицы 7.1).
Выберем ту функцию, для которой примет наименьшее значение.
В таблице данных нет значений ,,, подставляя ,, вместо v в формулу для линейной интерполяции, найдем соответствующие им значения функции ,,.
Формула для
вычисления табличного значения для
,
,
,
с помощью
линейной интерполяции
Самые маленькие . Найдем методом выравнивания параметры для выбранных видов зависимостей. Будем искать аппроксимирующую функцию в виде
.
Делаем замену переменных
После замены точки ложатся близко к прямой. Параметры этой прямой A и B
После замены z = At + B нашли A и B по методу наименьших квадратов, используя встроенные функции Mathcadа.
Функция slope(x,y) возвращает значение углового коэффициента.
Функция intercept(x,y) возвращает значение свободного параметра.
Возвращаемся к исходной функции , строим её график и находим сумму квадратов отклонений от исходной таблицы значений. Можно также найти и среднеквадратичное отклонение.
.
Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого сумма квадратов отклонений меньше.
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное показательной функцией
.
Замена переменных
среднеквадратичное
отклонение.
сумма квадратов
отклонений
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное дробно-линейной функцией .
Рис. 7.2. Решение примера 7.1 в Mathcad
Лучшим приближением для этих экспериментальных данных будет степенная функция.