- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
Мы рассматривали функции, зависящие от двух параметров. Предположим, что аппроксимирующая функция имеет вид квадратичной зависимости: .
Аналогично линейной зависимости составим функцию
, где (-табличное значение, - эмпирическая формула).
Возьмем частные производные по a,b и c
И приравняем их к нулю
Получим нормальную систему уравнений.
-
Решив нормальную систему относительно неизвестных a,b,с, найдём значения параметров приближающей функции.
Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.
Пример 7.2.
Данные предыдущего примера 7.1 аппроксимируем квадратичной зависимостью: . Напомним условие примера
Задание матрицы
коэффициентов нормальной системы и
столбца ее свободных
членов
Решение нормальной
системы
сумма квадратов
отклонений
среднеквадратичное
отклонение
Рис. 7.3. Решение примера 7.2 в Mathcad
Поскольку величина суммы квадратов отклонений для квадратичной зависимости получилась больше, чем у найденной ранее степенной функции, в данном примере предпочтительнее степенная функция.
Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.
Для построения аппроксимирующей зависимости в виде многочлена в Mathcad можно воспользоваться встроенными функциями regress и interp. Функция regress(x,y,k) возвращает вектор коэффициентов полиномов k-й степени, подобранного методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам x и y(x -массив абсцисс, y- массив ординат). Элементы массива x должны быть упорядочены по возрастанию.
Пример 7.3
Продолжим вычисления с данными примера 7.1:
Сумма квадратов
отклонений.
Среднеквадратичное
отклонение
Естественно, результаты такие же, как в примере 7.2
Сумма
квадратов отклонений измеренных
значений от вычисленных
среднеквадратичное
отклонение
Для кубической параболы получился самый хороший результат
Графики практически совпадают, поэтому не имеет смысла брать приближающий многочлен более высокого порядка.
Рис. 7.4. Решение примера 7.2 в Mathcad