- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
Рис 8.2. Формула Симпсона
Найдем коэффициенты -Котеса для n=1
.
Подставим в формулу (8.3)
.
Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен:
8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
Пусть n=2m есть четное число и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом . Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь .
Следовательно, .
Отсюда получаем общую формулу Симпсона:
.
Введя обозначения , формулу можно записать в более простом виде:
.
Если функция непрерывно дифференцируема до четвертого порядка, то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке дается формулой:
, где .
Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде:
.
непрерывна на отрезке [a,b], поэтому найдется точка такая, что .
Следовательно
, (8.9)
где .
Если задана предельная допустимая погрешность , то, обозначив , будем иметь для определения шага h неравенство:
, отсюда , т.е. h имеет порядок . Говорят, что степень точности метода Симпсона равна четырем
Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.
Предполагая, что на отрезке [a,b] производная меняется медленно, в силу формулы (8.9), получаем приближенное выражение для искомой ошибки
, где коэффициент M будем считать постоянным на промежутке интегрирования. Пусть и - приближенные значения интеграла , полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом h и H=2h. Имеем: и . Отсюда
.
За приближенное значение интеграла целесообразно принять исправленное значение
.
Пример 8.2 Вычислить в Mathcad интеграл методом Симпсона для n=8. Оценить остаточный член.
Вычисляем для формулы Симпсона при n=4
Сделаем двойной пересчет при n=8
Остаточный член приблизительно равен
Это точный результат
Рис. 8.3. Решение примера 8.2 в Mathcad
8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
Производя соответствующие вычисления при n=3, получим из формулы (8.3) и из выражения значения и квадратурную формулу Ньютона:
(правило ).
Остаточный член формулы равен , где , т.е. при одинаковом шаге формула Ньютона, вообще говоря, менее точна, чем формула Симпсона.
8.6. Квадратурная формула Чебышева
Рассмотрим квадратурную формулу
, (8.10)
где - постоянные коэффициенты. Чебышев предположил выбрать абсциссы таким образом, чтобы:
-
коэффициенты были равны между собой;
-
квадратурная формула (8.10) являлась точной для всех полиномов до степени n включительно.
Покажем, как могут быть найдены в этом случае величины и . Полагаем . Учитывая, что при , будем иметь , получаем . Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид:
. (8.11)
Для определения абсцисс заметим, что формула (8.11) согласно условию 2 должна быть точной для функции вида . Подставляя эти функции в формулу (8.11), получим систему уравнений:
, (8.12)
из которой могут быть определены неизвестные . Заметим, что система (8.12) при n=8 и n10 не имеет действительных решений.
Выведем формулу Чебышева с тремя ординатами (n=3).
Для определения абсцисс имеем систему уравнений:
(8.13)
Рассмотрим симметрические функции корней:
Из системы (8.13) имеем:
Отсюда заключаем по теореме Виета, что есть корни вспомогательного уравнения или . Следовательно, можно принять: .
Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид .
Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида , следует преобразовать его с помощью подстановки:
, переводящей отрезок в отрезок . Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева, будем иметь
,
где и - корни системы (8.13).
В таблице приведены значения корней ti системы (8.12) для n=1,2…,7.
Таблица 8.1
Значения абсцисс ti в формуле Чебышева
n |
i |
ti |
2 |
2;1 |
±0.577350 |
3 |
3;1 2 |
±0.707107 0 |
4 |
4;1 3;2 |
±0.794654 ±0.187592 |
5 |
5;1 4;2 3 |
±0.832498 ±0.374541 0 |
6 |
6;1 5;2 4;3 |
±0.866247 ±0.422519 ±0.266635 |
7 |
7;1 6;2 5;3 4 |
±0.883862 ±0.529657 ±0.323912 0 |
Пример 8.3. Вычислить интеграл из предыдущего примера по формуле Чебышева для четырех и для пяти точек в Mathcad.
Оценить точность вычислений.
Рис. 8.3. Решение примера 8.2 в Mathcad