- •Введение
- •Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней уравнения
- •2.1.1. Аналитический метод отделения корней
- •2.1.2. Графический метод отделения корней
- •2.2. Уточнение приближенных корней
- •2.2.1. Метод половинного деления
- •2.2.2 Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Глава 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод итераций
- •3.1.1. Оценка погрешности приближений процесса итераций
- •3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксаций
- •Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
- •4.3. Метод итераций для систем нелинейных уравнений
- •4.4. Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
- •Глава 5. Интерполяция
- •5.1. Постановка задачи интерполирования
- •5.2. Конечные разности
- •5.3. Интерполяционная формула Ньютона №1
- •5.4. Интерполяционная формула Ньютона №2
- •5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
- •5.5.2. Схема Эйткина
- •5.5.3. Остаточный член формулы Лагранжа
- •5.6. Обратное интерполирование
- •5.6.1 Итерационные методы для обратного интерполирования
- •Глава 6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов
- •6.1. Кубические сплайны
- •Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных
- •7.1 Построение эмпирической формулы.
- •7.2. Метод выбранных точек (метод натянутой нити)
- •7.3 Метод средних
- •7.4. Метод наименьших квадратов
- •7.5. Метод выравнивания
- •7.6. Метод наименьших квадратов для полиномов
- •Глава 8. Численное интегрирование
- •8.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •8.1. Формула трапеций и ее остаточный член
- •8.2. Общая формула трапеций и ее остаточный член
- •8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член
- •8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков
- •8.6. Квадратурная формула Чебышева
- •8.7. Квадратурная формула Гаусса
- •Глава 9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.1. Аналитические методы
- •9.1.1. Метод последовательного дифференцирования
- •9.1.2. Метод последовательных приближений.
- •9.1.3 Метод неопределенных коэффициентов.
- •9.2. Численные методы
- •9.2.1. Метод Эйлера
- •9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера
- •Второй улучшенный метод Эйлера
- •Третий улучшенный метод Эйлера
- •9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка
- •Список литературы
5.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны значения для функции . Нам нужно построить многочлен .
Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .
Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:
, ()
где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:
.
Отсюда .
Вернемся к выражению ():
.
Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид:
.
Докажем единственность полинома Лагранжа.
Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степень его не выше n и . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .
При равноотстоящих точках таблицы xi многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.
5.5.1. Вычисление лагранжевых коэффициентов
(5.2)
Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (5.3)
где .
Формула Лагранжа при этом имеет вид .
Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности
Таблица 5.3.
Таблица разностей
Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что
.Следовательно,
.
Пример 5.3 Выполнено в Mathcad
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.
Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad
Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны ). Действительно, положив в формуле (5.2):
, , ,
после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на an, получим:
или
,
где , что и требовалось доказать.
В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.
В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда
и
.
Тогда ,
где . Отсюда можно записать:
(5.4)
где
Пример 5.4 Выполно в Mathcad.
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы
Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad
5.5.2. Схема Эйткина
Пусть требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x. При этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, тогда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:
.
Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках xi значения , запишется следующим образом:
.
Вычисления по схеме Эйткина удобно расположить в такой таблице:
Таблица 5.4.
Вычисления по схеме Эйткина
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|||||
… |
||||||
… |
Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочлены и в таблице 5.4 не совпадут в пределах заданной точности.
Пример 5.5 Функция задана таблицей
1.0 |
1.000 |
1.1 |
1.032 |
1.3 |
1.091 |
1.5 |
1.145 |
1.6 |
1.170 |
Применяя схему Эйткина, найти Составим таблицу 5.4 для примера:
1.0 |
1.000 |
-0.15 |
|
|
1.1 |
1.032 |
-0.05 |
1.048 |
|
1.3 |
1.091 |
0.15 |
1.047 |
1.048 |
1.5 |
1.145 |
0.35 |
1.050 |
|
1.6 |
1.170 |
0.45 |
1.057 |
|
Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048