9.2.3. Метод Рунге-Кутта для уравнений первого порядка

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения.

с начальным условием .

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам

где

Для записи вычислений используется таблица Правило 4-го порядка точности.

Таблица 9.1.

Шаблон для вычисления решения уравнения (9.6) по методу Рунге-Кутта.

0
1

Пример 9.6. Используя метод Рунге–Кутта составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям y(0)=0.2 на отрезке [0;0.5] с шагом h=0.1. Все вычисления будем вести с четырьмя десятичными знаками, расположим их в таблице.

Таблица 9.2.

Решение примера методом Рунге-Кутта.

0	0 0,05 0,05 0,1	0,2 0,206 0,2069 0,2138	0,012 0,0137 0,0138 0,0157	0,012 0,0274 0,0276 0,0157
				0,0138
1	0,1 0,15 0,15 0,2	0,2138 0,2217 0,2227 0,2317	0,0157 0,0177 0,0179 0,0201	0,0157 0,0354 0,0358 0,0201
				0,0178
2	0,2 0,25 0,25 0,3	0,2317 0,2417 0,2429 0,2544	0,0201 0,0225 0,0227 0,0254	0,0201 0,0250 0,0454 0,0254
				0,0227
3	0,3 0,35 0,35 0,4	0,2544 0,267 0,2685 0,2829	0,0254 0,0284 0,0286 0,032	0,0254 0,0568 0,0572 0,032
				0,0286
4	0,4 0,45 0,45 0,5	0,2829 0,2989 0,3008 0,3190	0,032 0,0358 0,0361 0,0405	0,032 0,0716 0,0722 0,0405
				0,0360
	0,5	0,3189

При решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

применим формулы

Для контроля правильности выбора шага h рекомендуется вычислять дробь . Величина  не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.

Для определения точности пользуются двойным пересчетом.

,

где - точное решение уравнения (9.6) в точке , а y_n и приближенные значения, полученные при расчете с шагом h и с шагом , соответственно. Если y_n и мало различимы, то шаг выбран оптимально.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем в Mathcad предназначено несколько стандартных функций. В частности, для реализации метода Рунге-Кутта четвертого порядка существует функция rkfixed(y,a,b,n,D).

Параметры этой функции:

y-вектор начальных значений,

а,b- начало и конец промежутка интегрирования,

n-число интервалов, на которое делится промежуток интегрирования,

D-вектор правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Применим данную функцию к решению примера 9.6.

Рис 9.2 Решение примера 9.5 в Mathcad

Пример 9.6. Решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями y(0)=2 , z(0)=-1

с помощью этой же стандартной функции на отрезке [0;0.5] с шагом h=0.1

Рис 9.3. Решение примера 9.6 в Mathcad

Первый столбец таблицы это значения переменной x, второй столбец таблицы значения у, а третий столбец значения z в точках от ноля до 0,5 с шагом 0,1.

Пример 9.7. Решить задачу Коши для о.д.у. y"+3y'-xy-x³=5 y(0)=1 y'(0)=2 на отрезке [0;0.5] с шагом h=0.1

Решение уравнения более высокого порядка находится сведением уравнения к системе уравнений первого порядка и применением стандартной функции маткада rkfixed.

После замены переменных получаем систему

С начальными условиями y₀(0)=1 y₁(0)=2

Решение уравнения- второй столбец таблицы.

Рис 9.4. Решение примера 9.7 в Mathcad