- •С.А. Иванова, в.А. Павский Математика
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Тема 10. Исследование функции 145
- •Введение
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных неравенств
- •Тема 3. Линейные пространства
- •Базис линейного пространства
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Тема 4. Элементы векторной алгебры Векторы
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •Базис системы векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Cвойства скалярного произведения
- •С помощью скалярного произведения находят
- •Векторное и смешанное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Свойства смешанного произведения
- •Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости Система координат на плоскости
- •Уравнение линии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Тема 6. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Тема 8. Функции. Теория пределов Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Графический
- •Элементарные функции
- •Задание функций в полярной системе координат
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства бесконечно малых
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •О сжатой последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Эквивалентные функции
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Тема 9. Дифференциальное исчисление Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования, таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Производные сложной и обратной функций
- •Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Геометрические приложения производной
- •Дифференциал функции
- •Основные свойства дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Теоремы о дифференцируемости функции
- •Правило Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Тема 10. Исследование функции Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Заключение
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список литературы
- •Математика
- •Часть 1 Нач. Редакции а.С. Обвинцева
- •650010, Г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52
Действия над матрицами
1. Сложение матриц
Пусть матрицы A и B имеют одинаковый размер m´n, т. е.
, .
Матрица C размера m´n называется суммой матриц A и B, если
, ,
то есть, чтобы сложить матрицы одинакового размера, необхо-димо сложить их соответствующие элементы.
2. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
, ,
3. Умножение матриц
Произведением матрицы A размера m´n и матрицы B размера n´k называется матрица C размера m´k, имеющая следующий вид:
,
где , , .
Замечание 1. Отметим, что умножение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Замечание 2. Из правила умножения матриц следует, что , то есть умножение матриц некоммутативно.
Пример 1.1. Заданы матрицы
, .
Найти, если это имеет смысл, А+В, А×В, ВТ.
Решение. Так как матрицы квадратные, то для них все эти операции выполняются. Определим сумму матриц A и B, для этого вычислим суммы соответствующих элементов:
.
Вычислим произведение:
.
Для транспонирования матрицы B необходимо поменять местами соответствующие строки и столбцы:
.
Упражнение. Выяснить, какие из предложенных операций примера 1.1 выполнимы, если размерность матрицы A – m´n, а матрицы B – n´k.
Определитель матрицы
Если числовая матрица квадратная, ее можно оценить (определить), то есть поставить в соответствие число.
Определение. Определителем D (или detA) матрицы A по-рядка n называется многочлен элементов этой матрицы.
Для матрицы порядка n определитель записывается в виде:
.
Если матрица числовая, то значение определителя есть число, которое находят по известным правилам.
Свойства определителей
-
Определитель матрицы не меняется при транспонировании матрицы:
.
-
Определитель матрицы равен нулю, если он содержит строку (столбец), все элементы которой равны нулю.
-
Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столбцов) одинаковые.
-
Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.
-
Определитель матрицы меняет свой знак на противо-положный при перестановке местами любых двух строк (столбцов).
-
Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то он выносится за знак определителя как сомножитель.
-
Если к одной строке (столбцу) определителя приба-вить другую строку (столбец), умноженную на число, то значе-ние определителя не изменится.
-
Определитель треугольной матрицы равен произведе-нию элементов, стоящих на главной диагонали:
.
Вычисление определителей
Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, то есть
Пример 1.2. Вычислить определители:
-
-
;
-
.
Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:
Для ее запоминания используется мнемоническое правило – правило треугольников. Оно состоит в изображении (явном или мысленном) элементов матрицы точками. Точки, соответ-ствующие произведениям, которые входят в формулу определи-теля, соединяются отрезками.
Главной диагонали и двум треугольникам, основания которых ей параллельны, соответствуют произведения со знаком «+», а побочной диагонали и треугольникам, основания которых ей параллельны, соответствуют произведения со знаком «-».
Определение. Минором k-го порядка матрицы порядка n называется определитель, полученный из исходного вычерки-ванием n-k строк и n-k столбцов. Определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении вычеркнутых n-k строк и столбцов, называется дополнительным минором к минору k-го порядка, .
Определение. Минором элемента матрицы по- рядка n называется определитель порядка n-1, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца из определителя D исходной матрицы. Элемент и его минор являются взаимно-дополнительными минорами, .
Определение. Алгебраическим дополнением элемен-та матрицы порядка n называется минор этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма i + j четная, и со знаком «-», если сумма i + j нечетная, то есть
, . (1)
Определитель n-го порядка можно вычислить разложе-нием по i-й строке (j-му столбцу). Например, для определителя 3-го порядка получаются следующие равенства:
, ,
или
, .
Пример 1.3
-
Вычислить определитель по правилу треугольников:
.
-
Вычислить определитель разложением по третьему столбцу. Определим алгебраические дополнения элементов третьего столбца:
,
,
.
Далее по формуле (1) имеем
.