Тема 10. Исследование функции Возрастание и убывание функции

Определение. Функция называется возрастающей (убываю-щей), если при увеличении аргумента значение функции увеличи-вается (уменьшается) (рис. 10.1), то есть соответственно : () Þ (); (: Þ ).

Рис. 10.1

Теорема 10.1. Производная возрастающей (убывающей) функции не отрицательна (не положительна).

Определение. Функция, только возрастающая или убыва-ющая, называется монотонной. Промежутки, на которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции.

Экстремумы функции

Определение. Если при переходе аргумента (слева направо) через некоторое значение функция переходит от возрастания к убыванию, то говорят, что в точке функция имеет максимум (max). Если же при переходе аргумента через некоторое значение функция переходит от убывания к возрастанию, то в этой точке функция имеет минимум (min). Точки максимума и минимума называются точками экстремума (extr) ( рис. 10.2).

Теорема 10.2 (необходимое условие экстремума). В точ-ке экстремума дифференцируемой функции производная этой функции равна нулю (см. рис. 10.2).

Рис. 10.2

Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экс-тремум лишь в тех точках, в которых производная функции рав-на нулю или не существует.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Теорема 10.3 (1-е достаточное условие экстремума). Если дифференцируемая функция такова, что для некоторого значения ее аргумента x производная равна нулю (не существует при условии, что сама функция в этой точке непрерывна) и меняет свой знак при переходе через эту точку , то является экстремумом функции , причем:

1. если меняет свой знак с «+» на «–», то в точке функция достигает максимум;

2. если меняет свой знак с «–» на «+», то в точке функция достигает минимум.

Теорема 10.4 (2-е достаточное условие экстремума). Если для дифференцируемой функции в некоторой точке ее первая производная равна нулю, а вторая – существует и отлична от нуля, то есть

, ,

то в этой точке функция имеет экстремум, а именно:

1. если , то – минимум;

2. если , то – максимум.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке , необходимо перечислить все точки , , …, максимумов (минимумов), принадле-жащие интервалу и выбрать наибольшее (наименьшее) значение из чисел , , …, , , (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Пример 10.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную функции . Оп-ределим точки, в которых производная функции равна нулю: . Так как , то наибольшее и наименьшее зна-чения функции выберем из следующих:

; ; .

Ответ: , .

Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба

Определение. График функции , определенной и непрерывной на отрезке _, называется выпуклым (вогнутым), если каждая дуга графика функции лежит не ниже

(не выше) стягивающей ее хорды (рис. 10.4), т. е. : , Þ

Þ ; (: , Þ ).

Рис. 10.4

Теорема 10.5 (Достаточное условие вогнутости / выпуклости). Если для дважды дифференцируемой функции вторая производная () на интервале , то график функции на этом интервале выпуклый (вогнутый).

Определение. Точкой перегиба графика дифференцируемой функ-ции называется такая его точка, при переходе через которую кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Теорема 10.6 (Необходимое условие точки перегиба). Если – точка перегиба функции , то вторая производ-ная этой функции в точке равна нулю или не существует.

Теорема 10.7 (Достаточное условие точки перегиба). Если для функции вторая производная в некоторой точке обращается в ноль или не существует и при переходе через эту точку меняет свой знак, то точка является точкой перегиба графика функции.