Свойства сходящихся последовательностей

1. Если для последовательности существует предел, равный a, и число (или ), то существует такое число N, что для любого следует, что (или ).

Следствие. Если для последовательности сущест-вует предел, равный a, и (или ), то  (или ).

2. Если для последовательности существует предел, равный a, и для любого номера n, или , то или .

3. Если для последовательностей и сущест-вуют пределы, равные соответственно a и b, и для любого номе-ра n выполняется неравенство , то .

О сжатой последовательности

4. Пусть заданы три последовательности , , , для которых выполняется условие: для любого номера n . Тогда если последовательности и имеют предел, равный a, то и последовательность имеет предел, равный a.

5. Если для последовательности существует предел, то он единственный.

6. Если для последовательности существует предел, то она ограничена.

Пример 8.4. Вычислим пределы:

1)

2) ;

3)

;

4)

.

Определение. Последовательность называется моно-тонно возрастающей (или монотонно убывающей) при возрас-тании n, если (или ).

Последовательность называется неубывающей (или невозрастающей), если (или ).

Определение. Число a является верхней (или нижней) гранью последовательности , если:

1. для всех выполняется неравенство (или );

2. для любого существует такой номер , что (соответственно ) и обозначается (или ).

Теорема 8.2. Если последовательность монотонно возрастает (монотонно убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел, равный ().

Пример 8.6. Рассмотрим последовательность , . Покажем, что она монотонно возрастает и ограничена сверху.

Решение. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

,

где – число сочетаний из n элементов по k элементов [4], ,

Определение. Произведение натуральных чисел 1, 2, …, n называется эн-факториалом и обозначается символом , то есть

При этом , , по определению

Далее, учитывая определение числа сочетаний, имеем

.

Пусть , , тогда

;

.

Так как , то Þ

Þ ;

Þ ;

……………………………………

Þ .

Кроме того, содержит на одно слагаемое больше, поэтому , то есть последовательность моно-тонно возрастающая.

Ограничим ее сверху: так как , , …, и , , , …, , то

.

То есть , тогда по теореме о монотонно возрастающей ограниченной последовательности для нашей после-довательности предел существует, обозначим его числом e, тогда . Замечая, что

, , , …, получим, что . Это трансцендентное число имеет такую же значимость в матема-тике, как и число p [3]. Иначе говоря,

.

Предел функции

Понятие предела является одним из основных в функциональном анализе [3]. С помощью предела формулируется множество других более общих понятий. Большинство новых утверждений и результаты в анализе получены благодаря понятию предела.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого существует , что, как только , так сейчас же . Через кванторы всеобщности () и существования () предел функции запишется формулой  или, что то же самое,

Определение. e-Окрестностью точки называется любой открытый интервал с центром в точке радиуса e:

Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого x, принадлежащего -окрестности точки , значения функции принадлежат -окрестности числа A, где – сколь угодно малое число, вообще говоря, зависящее от e. Окрестность числа A может быть выколотой.

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого малого существует такая d-окрестность точки , что , то есть ()  , что эквивалентно записи

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого малого существует d-окрестность точки такая, что , то есть ()  () или .

Замечание. Символ «» является абстракцией, поэтому символы «+» или «–» следует рассматривать как бесконечно удаленные точки на числовой оси. Совпадают ли они в «бесконечности» или находятся на противоположных сторонах – неизвестно. Все зависит от их физической интерпретации и от правил действия с числами разных знаков. Под бесконечно большой величиной следует понимать любую функцию , которая при находится от любого конечного числа на сколь угодно большом расстоянии.

Теорема 8.3. Функция, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая функция, и наоборот, то есть

; .