Тема 9. Дифференциальное исчисление Определение производной
Пусть
функция
определена и непрерывна на интервале
.
Зададим аргументу
некоторое приращение
,
тогда функция
получит приращение
.
Составим отношение приращения функции
к приращению аргумента:
.
Рассмотрим предел
этого отношения при
:
.
Определение.
Производной
функции
в точке x
называется предел
(если он существует)
отношения приращения функции
к
приращению
аргумента
,
когда последнее стремится к нулю (
).
Таким образом, получаем
(16)
или
.
(17)
Замечание.
При вычислении производной функции по
опреде-лению возникает неопределенное
выражение вида
.
Раскрывая эту неопределенность, выясняем
существование предела и тем самым
производной функции в точке x.
Для
обозначения производной функции
часто используют также символы:
,
,
.
Если
в каждой точке
существует производная
,
то функция
называется дифференцируемой
на интервале
,
а операция нахождения производной
функции называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной
Касательной
к кривой
в точке
называется прямая, являющаяся предельным
положением секущей
когда точка M,
двигаясь по кривой, неограниченно
прибли-жается к точке
(рис. 9.1).
Рис. 9.1
Рассмотрим
график непрерывной на
функции
(рис. 9.2), имеющей в точке
невертикальную касате-льную. Найдем
угловой коэффициент этой касательной:
,
где
– угол наклона касательной к оси
.
Придадим
переменной x
приращение
,
функция
также получит приращение
,
соответствующей ему точкой на кривой
будет
,
где
,
.
Проведем секущую
и обозначим через
угол между секущей
и осью Ox.
Рассмотрим треугольник
тогда
.
Угловой коэффициент секущей равен
.
Из
непрерывности функции следует, что при
приращение
также стремится к нулю; но тогда точка
М,
двигаясь по кривой, в пределе совпадает
с точкой
а
секущая, поворачиваясь в точке
в пределе переходит в касательную, тогда
.
Поэтому угловой коэффициент касательной равен:
.
Рис. 9.2
Таким
образом, геометрически производная
в точке
равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции
в точке, абсцисса которой равна
,
или, что то же самое, тангенсу
угла наклона касательной в
точке
к оси абсцисс.
Правила дифференцирования, таблица производных
Для вычисления производных необходимо знать правила дифференцирования и формулы, определяющие производные прос-тейших функций. Вывод этих правил и формул основывается на определении производной функции.
Правила дифференцирования
Пусть
,
– дифференцируемые функции на интервале
,
.
-
.
Доказательство.
Пусть
,
придадим переменной
приращение,
тогда
.
Составим отношение
и вычислим предел
.
-
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
,
.
По определению имеем
.
-
.
Доказательство.
Пусть
и функция
– дифференцируемая
на интервале
,
т. е.
.
Придадим переменной x
приращение, тогда функции y,
u
также получат приращение:
,
Переходя
к пределу при
,
получаем
-
.
Доказательство.
Пусть
,
,
– дифференцируемые функции на интервале
,
т. е.
,
.
Запишем
приращение функции, соответствующее
приращению переменной
:
.
По определению производной и свойствам пределов функций получаем:
.
-
.
Доказательство.
Пусть
,
где
,
– дифференцируемые функции на интервале
:
,
.
Если независимая
переменная получит приращение
,
тогда функции y,
u,
v
также получат приращение, т. е.
.
По определению производной и свойствам пределов функций получаем:
.
-
,
.
Доказательство.
Пусть
,
и
,
– дифференцируемые функции на интервале
:
,
.
Приращению
соответствуют приращения функций
y, u, v, тогда:
.
По определению производной и свойствам пределов функций имеем:
.
Пример
9.1. Найти
производную функции по определению:
1)
;
2)
;
3)
.
Решение
1)
.
Значению
независимой переменной x
соответ-ствует
значение функции
,
значению
соответствует значение функции
.
По оп-ределению производной (17) имеем:
.
Таким образом,
.
2)
.
Запишем приращение функции
,
соответ-ствующее
приращению независимой переменной
(
):
.
По определению производной функции
имеем:
,
т. е.
.
3)
.
Значению
аргумента x
соответствует значение функции
,
а значению
соответствует значение функции
.
Найдем приращение функции:
,
вычислим предел:
.
Таким образом,
получаем
Таблица производных простейших функций
|
1) |
|
8) |
|
||
|
2) |
|
9) |
|
|
|
|
3) |
|
10) |
|
|
|
|
4) |
|
11) |
|
|
|
|
5) |
|
12) |
|
|
|
|
6) |
|
13) |
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|
,
;
,
;
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
Пример 9.2. Найти производную функции:
1)
2)
.
Решение
1) Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:
.
2) По правилу дифференцирования дроби имеем:
.