- •С.А. Иванова, в.А. Павский Математика
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Тема 10. Исследование функции 145
- •Введение
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных неравенств
- •Тема 3. Линейные пространства
- •Базис линейного пространства
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Тема 4. Элементы векторной алгебры Векторы
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •Базис системы векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Cвойства скалярного произведения
- •С помощью скалярного произведения находят
- •Векторное и смешанное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Свойства смешанного произведения
- •Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости Система координат на плоскости
- •Уравнение линии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Тема 6. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Тема 8. Функции. Теория пределов Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Графический
- •Элементарные функции
- •Задание функций в полярной системе координат
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства бесконечно малых
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •О сжатой последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Эквивалентные функции
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Тема 9. Дифференциальное исчисление Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования, таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Производные сложной и обратной функций
- •Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Геометрические приложения производной
- •Дифференциал функции
- •Основные свойства дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Теоремы о дифференцируемости функции
- •Правило Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Тема 10. Исследование функции Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Заключение
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список литературы
- •Математика
- •Часть 1 Нач. Редакции а.С. Обвинцева
- •650010, Г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52
Уравнение плоскости в пространстве
Рассмотрим трехмерное пространство с фиксированной декартовой системой координат Oxyz.
Координатная плоскость Oxy в нем является подпространством размерности два. Изученная нами прямая и кривые 2-го порядка, лежащие в плоскости Oxy, в пространстве также могут быть определены. Для этого необходимо задать саму плоскость Oxy в нем.
Очевидно, что если в пространстве задана система координат Oxyz, то плоскость Oxy определяется в ней уравнением .
Но плоскость в пространстве в системе координат может быть определена по-разному, поскольку она не обязательно долж-на проходить через начало или быть перпендикулярной другим ко-ординатным плоскостям.
Естественно возникает вопрос об уравнении плоскости в пространстве.
Справедливы утверждения:
-
Если в пространстве (размерности ) задана произвольная плоскость и фиксирована произвольная декартовая система координат Oxyz, то плоскость определяется в ней уравнением 1-й степени.
-
Если в пространстве (размерности ) фикси-рована произвольная декартовая прямоугольная система коор-динат Oxyz, то всякое уравнение 1-й степени с переменными x, y, z определяет в ней плоскость.
Ниже мы эти утверждения сформулируем в виде теорем.
Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется нормальным вектором этой плоскости (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь ее нормальный вектор , то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору).
В самом деле, возьмем на плоскости P произвольную точку М с переменными координатами x, y, z. Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору , а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось нулю, то есть .
Вектор задан по условию, найдем координаты вектора: и запишем скалярное произведение этих векторов в координатной форме:
. (12)
Так как точка выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости Р. Для точки N, не лежащей на заданной плоскости, и равенство (12) нарушается. Следовательно, уравнение (12), являясь уравнением 1-й степени, определяет плоскость, проходящую через точку и пер-пендикулярную вектору
Пример 7.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
Решение. Используя формулу (12), имеем откуда после преобразований получим .
Это уравнение 1-й степени и есть искомое уравнение плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Пусть даны три точки , и . Если точки не лежат на одной прямой, то через них всегда можно провести единственную плоскость. Обозначим (х, у, z) координаты произвольной точки М пространства и рассмотрим три вектора: , , . Точка М лежит на плоскости М1М2М3 в том и только в том случае, когда перечисленные три вектора компланарны, а значит, , т. е. определитель, составленный из их координат, равен нулю:
.
Пример 7.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , и
Решение. Пусть – произвольная точка плоскости, тогда векторы , , компланарны, поэтому:
Вычисляя определитель по правилу треугольников, получим: или .
Теорема 7.1. В пространстве всякая плоскость выража-ется уравнением 1-й степени ,
Доказательство. В предыдущем пункте было установлено, что всякая плоскость может быть задана уравнением вида (12):
,
Раскрыв скобки и обозначив , получим общее уравнение 1-й степени относительно x, y, z: , эквивалентное уравнению (12). Поэтому оно определяет ту же плоскость, что и уравнение (12), и называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при переменных в этом уравнении сохраняют тот же геометрический смысл, что и в равенстве (12), то есть являются координатами нормального вектора плоскости. Так как нормальный вектор плоскости является ненулевым, то коэффициенты A, B и C не могут быть одновременно равны нулю. Итак, мы доказали, что всякая плоскость в определяется уравнением 1-й степени относительно переменных координат x, y, z.
Теорема 7.2 (обратная). Всякое линейное уравнение с тремя переменными определяет плоскость в пространстве , если хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю.
Доказательство. Пусть x0, y0, z0 – какое-либо решение данного уравнения. Тогда , откуда . Подставляя в данное уравнение вместо D его значение и группируя члены, получим
Это уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор Следовательно, и равносильное ему уравнение определяет плоскость, перпендикулярную вектору
Пример 7.3. Построить в прямоугольной системе ко-ординат плоскость, заданную уравнением .
Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточ-но знать какие-либо три ее точки, не лежащие на одной прямой, нап-ример, точки пересечения плоскости с осями координат. Полагая в заданном уравнении , получим . Следовательно, за-данная плоскость пересекает ось Oz в точке Ана-логично при получим , то есть точку ; при получим , то есть точку . По трем точкам , , строим заданную плоскость (рис. 7.3).
Рис. 7.3
Частные случаи общего уравнения плоскости. Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения обращаются в нуль.
1. При уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как ко-ординаты точки удовлетворяют этому уравнению.
2. При уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох, поскольку нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Ох (его проек-ция на ось Ох равна нулю). Аналогично при плоскость параллельна оси Оу, а при плоскость параллельна оси Оz.
3. При уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ох, поскольку она параллельна оси Ох () и проходит через начало координат (). Аналогично плоскость проходит через ось Оу, а плоскость – через ось Оz.
4. При уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оxу, поскольку она параллельна осям Oх () и Оу (). Аналогично плоскость параллельна плоскости уОz, а плоскость – плоскости Оxz.
5. При уравнение (или ) определяет координатную плоскость Оxу, так как она параллельна плоскости Оxу () и проходит через начало координат Аналогично уравнение в пространстве определяет координатную плоскость Оxz, а уравнение – координатную плоскость Оyz.
Пример 7.4. Составить уравнение плоскости P, проходящей через ось Оу и точку .
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через ось Оу, имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P. Поэтому ее координаты удовлетворяют написанному выше урав-нению плоскости: Û , откуда Подставив найденное значение A в уравнение , получим: или .
Это и есть искомое уравнение.