- •С.А. Иванова, в.А. Павский Математика
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Тема 10. Исследование функции 145
- •Введение
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных неравенств
- •Тема 3. Линейные пространства
- •Базис линейного пространства
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Тема 4. Элементы векторной алгебры Векторы
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •Базис системы векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Cвойства скалярного произведения
- •С помощью скалярного произведения находят
- •Векторное и смешанное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Свойства смешанного произведения
- •Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости Система координат на плоскости
- •Уравнение линии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Тема 6. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Тема 8. Функции. Теория пределов Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Графический
- •Элементарные функции
- •Задание функций в полярной системе координат
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства бесконечно малых
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •О сжатой последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Эквивалентные функции
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Тема 9. Дифференциальное исчисление Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования, таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Производные сложной и обратной функций
- •Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Геометрические приложения производной
- •Дифференциал функции
- •Основные свойства дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Теоремы о дифференцируемости функции
- •Правило Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Тема 10. Исследование функции Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Заключение
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список литературы
- •Математика
- •Часть 1 Нач. Редакции а.С. Обвинцева
- •650010, Г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52
Взаимное расположение плоскостей
Пусть две плоскости заданы в общими уравнениями:
и ,
, .
Эти плоскости параллельны только в том случае, если коллинеарны их нормальные векторы и , то есть выполняются условия: .
Следовательно, две плоскости, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при одноименных переменных пропорциональны.
Если кроме коэффициентов при переменных пропорциональны и свободные члены, то есть выполняются равенства
,
то плоскости совпадают.
Чтобы две плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных x, y, z не были пропорциональны.
Плоскости перпендикулярны в том случае, если перпендикулярны их нормальные векторы, то есть выполняется условие:
.
Пример 7.5. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями и .
Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, если их нормальные векторы и удовлетворяют условию . Так как , то указанное условие выполнено, поэтому данные плоскости перпендикулярны.
Уравнение прямой в пространстве
Каноническое уравнение прямой. Положение прямой вполне определено, если заданы лежащая на ней точка и направление. Направление прямой может быть задано любым вектором, коллинеарным данной прямой, который называется направляющим вектором.
Выведем уравнение прямой a, проходящей через данную точку и имеющей направляющий вектор
Произвольная точка лежит на прямой a только в том случае, если векторы и коллинеарны, то есть для них выполняется условие:
.
Эти равенства (а этими равенствами фактически заданы два независимых уравнения) определяют прямую (рис. 7.4), проходящую через заданную точку коллинеарно вектору , и называются каноническим уравнением прямой в пространстве.
Рис. 7.4
Числа l, m и n являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор – ненулевой, то все три числа l, m и n не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю, например,
Эта запись означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная указанным образом, перпендикулярны осям Oy и Oz, то есть плоскости Оyz.
Пример 7.6. Составить уравнение прямой, перпендикуляр-ной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz.
Решение. Найдем точку пересечения данной плоскости с осью Oz. Так как любая точка, лежащая на оси Oz, имеет координаты (0; 0; z), то, полагая в заданном уравнении плоскости , получим или . Следо-вательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2). Поскольку искомая прямая перпенди-кулярна плоскости, то она параллельна ее нормальному вектору Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали заданной плоскости.
Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходя-щей через точку в направлении вектора
или .
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и . В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор , то есть . Тогда каноническое уравнение прямой в пространстве примет вид:
.
Эти равенства определяют прямую, проходящую через две данные точки.
Пример 7.7. Составить уравнения прямой, проходящей через точки и .
Решение. Запишем искомое уравнение прямой в виде:
или
.
Так как то искомая прямая перпендикулярна оси Oy.
Пример 7.8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Решение. Направляющим вектором искомой прямой мо-жет служить направляющий вектор данной прямой, поскольку по условию эти прямые параллельны. Зная точку и направляющий вектор искомой прямой, запишем ее уравнение в виде:
Прямая как линия пересечения плоскостей
Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей: и , то есть как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений:
(13)
Справедливо и обратное утверждение: система двух независи-мых линейных уравнений вида (13) определяет прямую как линию пересечения плоскостей (если они непараллельны). Уравнения сис-темы (13) называются общим уравнением прямой в пространстве
Пример 7.9. Составить каноническое уравнение прямой, заданной общими уравнениями плоскостей:
Решение. Чтобы написать каноническое уравнение прямой или, что то же самое, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например, Oyz и Oxz.
Точка пересечения прямой с плоскостью Oyz имеет абсциссу . Поэтому, полагая в данной системе уравнений , получим систему с двумя переменными:
Ее решение , вместе с определяет точку искомой прямой. Полагая в данной системе уравнений , получим систему:
решение которой , вместе с определяет точку пересечения прямой с плоскостью Oxz.
Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки и : или , где будет направляющим векто-ром этой прямой.
Пример 7.10. Прямая задана каноническим уравнением . Составить общее уравнение этой прямой.
Решение. Каноническое уравнение прямой можно запи-сать в виде системы двух независимых уравнений:
Û
Получили общее уравнение прямой, которая теперь задана пе-ресечением двух плоскостей, одна из которых параллельна оси Oz а другая – оси Оу .
Данную прямую можно представить в виде линии пересечения двух других плоскостей, записав ее каноническое уравнение в виде другой пары независимых уравнений:
Û
Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений (то есть пересечением различных плоскостей, так как через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей), а также различными каноническими уравнениями (в зависимости от выбора точки на прямой и ее направляющего вектора).