2. Уравнения диэлектрической поляризации. Уравнение Клаузиуса—Мосотти.

Уравнения диэлектрической поляризации устанавливают зависимость макроскопического электрического параметра диэлектрика — диэлектрической проницаемости ε от микроскопического электрического параметра — поляризуемости α частиц, образующих диэлектрик. Для установления этой зависимости определим значение локального электричекого поля Е', действующего на рассматриваемую частицу диэлектрика в качестве которой возьмем молекулу. Выше было отмечено (см.формулу (2.1)), что индуцирован­ный дипольный момент р_о каждой молекулы диэлектрика непосред­ственно зависит от напряженно­сти локального поля Е' и поляри­зуемости а самой молекулы.

Напряженность локального электрического поля Е', дейст­вующего на отдельную молеку­лу, окруженную другими поля­ризованными молекулами, не равна напряженности внешнего электрического поля Ео в дан­ной точке диэлектрика. Только в разряженных

Рис. 2.4. К вычислению локального поля Е, действующего в плоском конденсаторе

газах, когда взаимодействием между молекулами можно пренебречь (идеальный газ), допустимо считать, что Е' = Ео.

Для того чтобы найти напряженность локального поля Е', пред­ставим себе, что в диэлектрике, помещенном между плоскопарал­лельными электродами, образуется однородное поле и происходит равномерная поляризация. Внутри диэлектрика мысленно выделим сферу радиусом r, много большим размера рассматриваемой молеку­лы, но много меньшим размера самого диэлектрика (рис. 2.4). В центре сферы находится рассматриваемая молекула. Можно пола­гать, что напряженность локального поля Е' в центре сферы будет складываться из трех составляющих:

Е' = Е1 + Е2 + Е3. (2.22)

Локальное поле Е', выраженное уравнением (2.22), называют полем Лорентца.

Поле Е1 создается сторонними зарядами на поверхности электро­дов и связанными зарядами в диэлектрике у поверхности электродов (см. рис. 2.1); оно будет равно среднему макроскопическому полю Е, действующему в диэлектрике (Е1 = Е).

Поле Е2 образовано молекула­ми, находящимися вне сферы диаметром r и упирающимися своими концами в поверхность этой сферы, т.е. это поле, создаваемое связан­ными зарядами на поверхности сферы (см. рис. 2.4).

Поле Е3 создает­ся всеми молекулами, находящимися внутри сферы радиусом r, за ис­ключением молекулы, для которой определяется локальное поле Е'.

Для определения Е2 предположим, что внутри сферы нет моле­кул, кроме рассматриваемой. При этом плотность связанных зарядов на поверхности сферы в каждой точке одинакова и равна поляризованности (σ = Р). Плотность связанных зарядов,

индуцированных на бесконечно малой площади dS поверхности этой сферы, будет равна -

Р_n, Кл/м2, т.е. нормальной составляющей вектора Р к этой поверхности С помощью закона Кулона можно определить напряженность поля dE2 действующего в центре сферы со стороны электрического заряда Р_ndS, индуцированного на площади dS. Проинтегрировав заряд dE2 по всей поверхности сферы, найдем поле Е2:

Е2 =Р/ 3εо (2.23)

Направление поля Е2 совпадает с направлением Р и поэтому оно не вычитается из внешнего поля Ео, как это было в случае, рассмот­ренном в гл. 2.1.2 (см. рис. 2.1 и формулы (2.7) и (2.14)), а складыва­ется с ним (см. рис. 2.4).

В простейшем случае, когда диэлектрик имеет высокосиммет­ричную структуру (например, для диэлектриков аморфных неполяр­ных и кристаллических с кубической решеткой), напряженность поля Е3 может быть принята равной нулю (Е3 = 0).

Подставив в формулу (2.22) значения Е1 (Е1 = Е), Е3 (Е3 = 0) и Е2 из (2.23) и произведя преобразования, получим

Е'=Е+ Р/3εо = (ε+2)/3 Е. (2.24)

Если напряженность внешнего макроскопического поля Еo не за­висит от природы однородного диэлектрика и определяется только величиной приложенного напряжения U и толщиной образца ди­электрика h (Eo = U/h), то из формулы (2.24) следует, что напряжен­ность локального поля Е' зависит от химической природы диэлек­трика. Из (2.24) видно, что на величину Е' влияет ε диэлектрика. В случае вакуума ε = 1 и отношение (е+2)/3 в (2.24) обращается в единицу, а Е' становится равным Е.

Приравняв друг другу правые части (2.5) и (2.6), предварительно подставив значение Е' из (2.24) в (2.5) и произведя преобразования, получим уравнение Клаузиуса—Мосотти:

(ε-1)/(ε+2) = (1/3εо) nα

. (2.25)

Уравнение (2.25) наиболее строго выполняется для неполярных жидкостей и особенно неполярных газов, у которых молекулы удалны Друг от друга на сравнительно большие расстояния.

Для полярных диэлектриков Дебай в уравнение Клаузиуса—Мосотти к деформационной поляризуемости α_деф ввел дипольнорелаксационную поляризуемость α_др ( α_др = μ² /(ЗkT ), Уравнение диэлектрической поляризации Клаузиуса—Мосотти с поправкой Дебая приобретает вид:

(ε-1)/(ε+2) = (1/3εо)( α_деф + μ²/3kT) (2.26)

где μ — постоянный дипольный момент полярной молекулы (μ = q L — суммарный положительный или численно ему равный суммарный отрицательный заряд молекулы, L — расстояние между центрами положительных и отрицательных зарядов); k — постоянная Больцма. на; Т — температура, К.

Существуют и другие уравнения диэлектрической поляризации (например, Онзагера, Кирквуда), которые более строго учитывают действие электрического поля на молекулы полярных и сильнопо­лярных жидких диэлектриков. Все эти уравнения, так же как (2.25) и (2.26), в итоге устанавливают зависимость диэлектрической прони­цаемости ε диэлектрика от концентрации п молекул в единице объе­ма и поляризуемости а каждой молекулы:

ε_{о =} φ(n, α). (2.27)

Для молекулярных твердых и жидких диэлектриков решаю­щее влияние на величину е оказывает поляризуемость а молекулы. Значения л и а, в свою очередь, зависят как от самого диэлектрика (химического состава, строения, типа дефектов и т.п.), так и внеш­него электрического воздействия (температуры, частоты напряжения и др.).