11. Методы доказательства в школьном курсе математики

Доказательства представляют собой цепочки правильных умозаключений, ведущих от истинных посылок, исходных суждений для данного доказательства, к доказываемым (заключительным) тезисам. Структура доказательства определяется следующими элементами:

1. Тезис – предложение, истинность которого устанавливается в ходе доказательства.

2. Аргументы – факты, используемые для обоснования тезиса (аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы).

3. Демонстрация – логический процесс взаимосвязи аргументов.

Под методом доказательства понимают способ связи аргументов от условия к заключению. В зависимости от того, как строится обоснование тезиса, различают прямые и косвенные доказательства.

Приемы прямого доказательства:

1. Синтез – метод рассуждения, при котором двигаются от данных задачи к искомым, от того, что дано к тому, что надо доказать или когда элементы объединяют в целое. Синтетический метод применяется, когда человек знает истину и хочет убедить в ней других.

2. Анализ – метод рассуждения, при котором двигаются от искомых к данным задачи, от того, что нужно доказать к тому, что дано или когда целое расчленяют на части. Аналитический метод – поисковый. Различают восходящий анализ и нисходящий анализ.

Схема метода восходящего анализа: пусть требуется доказать утверждение А. Подберем такое утверждение В, из которого следует А. Затем отыскиваем такое утверждение С, из которого следует В и так далее до тех пор, пока находим путь решения задачи. Характерные слова учителя: «Для того чтобы доказать …, надо доказать …».

Схема метода нисходящего анализа: пусть требуется доказать утверждение А. Предполагаем, что оно верно и пытаемся получить из него верное следствие. Если верное следствие получено, то проверяем обратимость рассуждений. В случае обратимости всех рассуждений А верно.

3. Аналитико-синтетический метод, предполагающий последовательное преобразование то условия, то заключения.

Приемы косвенного доказательства:

1. Метод «от противного». Предположив противное заключению предложения, приходят к противоречию либо с условием, либо известным фактом теории.

2. Разделительный метод. Тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, затем опровергаются все предложения, кроме одного.

В зависимости от того, какой математический аппарат используется для доказательства, выделяют метод геометрических преобразований, алгебраические методы, векторный метод, координатный метод.

Под обучением доказательству понимают обучение школьников анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению готовых доказательств.

12. Правила и алгоритмы в школьном курсе математики. Методика их изучения

Алгоритм – понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнять с данными, чтобы решить любую задачу данного типа. Каждому алгоритму присущи свойства:

1. Массовость (с помощью данного алгоритма решается класс задач определенного типа).

2. Элементарность и дискретность шагов (при построении алгоритма выделяются отдельные и законченные шаги, каждый из которых является простейшим и понятным для исполнителя).

3. Детерминированность (алгоритм однозначно определяет первый шаг и каждый следующий).

4. Результативность (точное выполнение указаний алгоритма всегда приводит к определенному результату, в том числе установлению факта, что задача не имеет решения).

Алгоритмы описывают общие методы решения классов однотипных задач. С такой же целью в школьном курсе математики присутствуют правила, которые представляют свернутые алгоритмы. Правила не всегда обладают свойствами детерминированности, дискретности и элементарности. Исходя из этого, не любое правило можно «развернуть» в алгоритм. Вместе с тем, всякий алгоритм можно назвать правилом.

В школьном курсе математики встречаются алгоритмы, обладающие разной структурой:

1. Линейные алгоритмы, в которых выполнение каждого последующего шага однозначно следует за предыдущим. Например, алгоритм построения графика линейной функции.

2. Разветвляющиеся алгоритмы, в которых за шагом, называемым логическим условием, возможно выполнение одного из двух шагов в зависимости от того, выполняется или нет данное логическое условие. Например, алгоритм вычисления модуля числа.

3. Циклические алгоритмы, которые содержат некоторую повторяющуюся последовательность шагов. Например, алгоритм вычисления первых k членов арифметической последовательности.

Для представления алгоритмов используются разные формы их записи: словесная, табличная, схематичная, осуществляемая с помощь блок-схем.

Логико-математический анализ правил (алгоритмов) предполагает:

1. проверку наличия у данного правила характеристических свойств алгоритма;

2. выделение последовательности операций и логических условий в данном правиле;

3. установление связи алгоритма (правила) с другими элементами знаний.

Приведя логико-математический анализ алгоритма (правила), учитель получает возможность составить системы задач, необходимые для актуализации знаний, открытия и усвоения алгоритма; выбрать наиболее удобную форму записи алгоритма.

Психологической основой методики изучения правил и алгоритмов представляет теория поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина. Согласно этой теории процесс усвоения умственного действия состоит из этапов:

1. Мотивационный.

2. Открытие ООД (ориентировочной основы действия).

3. Формулировка ООД.

4. Усвоение действия, осуществляемое в четыре этапа (материализованный или материальный, внешнеречевой, внутренней речи, умственный).

В соответствии с данной схемой методика изучения привил и алгоритмов содержит следующие этапы:

1. Мотивационный.

2. Введение алгоритма.

3. Усвоение алгоритма.

4. Применение алгоритма.