5. Методика изучения функций в школьном курсе математики

Понятие функции – одно из фундаментальных понятий современной математики. В школьном курсе математики понятие функции способствует межпредметной интеграции – математики с физикой, алгебры с геометрией, а также внутрипредметной интеграции – теории чисел, теории множеств и др. Вопрос об изучении функций в школах впервые был поставлен Ф. Клейном в начале XX века. Большую роль во внедрении идей функциональной зависимости сыграли К.Ф. Лебединцев и А.Я. Хинчин. Еще в сороковые годы XX века А.Я. Хинчин отмечал, что понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, вокруг которого группируется все математическое преподавание. Идеи А.Я. Хинчина учтены в современном курсе математики.

В учебно-методической литературе можно выделить два основных направления в трактовке понятия функции: классическое и теоретико-множественное. Первое опирается на понятие переменной величины и связано с приложением этого понятия в физике и технике. Функцией называется такая зависимость, при которой каждому значению переменной x (из некоторого числового промежутка) ставится в соответствие по определенному правилу единственное значение переменной y. Отсюда вытекают следующие два требования к заданию функции:

1. указать область ее определения, т.е. числовой промежуток;

2. указать правило, по которому каждому числу x их области определения сопоставляется число y.

При теоретико-множественном подходе функцией называют всякое взаимно однозначное соответствие, однако по действующим программам такой подход в настоящее время не используется.

Функция может быть задана различными способами. Исторически первым был аналитический способ задания функции, который состоит в том, что устанавливается формула, при помощи которой по заданным значениям аргумента мы получаем значения функции. Табличный способ задания часто применяется в естествознании и технике, когда исследуются зависимости между явлениями, процессами. Словесный способ задания функции возможен в тех случаях, когда функция задается описательно. Графический способ задания функции имеет неоспоримое преимущество – наглядность. Он часто применяется в естествознании, медицине, технике.

Значительная часть материала функциональной линии относится к изучению класса функций, получивших название элементарных. К элементарным принадлежат целые функции, рациональные функции, степенные, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратные тригонометрические функции, а также различные их комбинации. Изучение конкретных функций полезно проводить по следующей методической схеме:

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

3. Ознакомить обучающихся с графиком данной функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значения, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, четность или нечетность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность. Школьников учат истолковывать те или иные свойства функций на трех «языках»: графическом, словесном и символическом. Сначала свойства функций устанавливаются по ее графику, т.н. на основе наглядных соображений, и лишь немногие – аналитически. В старших классах исследование функции обычно предшествует построению ее графика.

5. Использовать изученные свойства функций при решении задач, в частности уравнений и неравенств.

Выделим умения, составляющие графическую грамотность обучающихся:

1. Умение мысленно представить вид графика любой из основных функций и прокомментировать его.

2. Умение строить график, используя таблицу значений или рациональные приемы.

3. Умение схематически показать расположение графика на координатной плоскости пояснить правильность расположения графика с помощью коэффициента.

4. Умение «читать» график: по значению аргумента найти значение функции и наоборот, прокомментировать свойства и показать, как они отражаются на графике, описать «поведение» функции на некотором множестве, графически подтвердить четность или нечетность функции.