9. Методика формирования математических понятий

Методика изучения математических понятий содержит ряд этапов.

1. Мотивационный. Назначение этого этапа состоит в показе целесообразности и необходимости введения нового понятия. Для этого используют следующие приемы: решение задач (математических, с практическим содержанием, занимательных, исторических), проведение опытов или наблюдений.

2. Подготовка к введению определения. Результатом этого этапа является формулировка существенных свойств понятия.

3. Введение определения.

4. Логико-математический анализ структуры определения. Назначение этапа состоит в составлении ориентировочной основы действия (ООД) для подведения под определение понятия и выведения следствий.

5. Выполнение действий подведения под понятие. Действия подведения под определение понятия направлено на формирование умений распознавать объекты, относящиеся к классу объектов, характеризуемых определением. Для этого необходимо, используя ООД, определить наличие у объекта свойств и логических связей между ними, характеризующих данное понятие. Учителю полезно владеть методикой составления упражнений на распознавание: каждое свойство в определении заменяют поочередно его отрицанием, и к измененному таким образом предложению составляют пример. Такие контрпримеры чередуют с примерами, удовлетворяющими определению данного понятия. При этом соблюдают принцип варьирования несущественных свойств понятия – формы и расположения чертежа, буквенных обозначений и т.д.

6. Выполнение действий получения следствий, то есть установления вывода о наличии у объекта, обозначенного данным термином, совокупности свойств, характеризующих соответствующее понятие.

7. Установление связей между новым понятием и изученными ранее.

8. Формулировка эквивалентных определений.

9. Контроль и оценка усвоения понятия учениками. При контроле необходимо проверить наличие знаний: а) формулировки определения понятия; б) содержания понятия; в) структуры определения; г) ООД для выполнения действий подведения под определение понятия и выведения следствий.

В МПМ выделяют два метода введения понятий: конкретно-индуктивный (описан выше) и абстрактно-дедуктивный.

Схема применения конкретно-индуктивного метода:

1. Рассматриваются и анализируются примеры.

2. Выясняются существенные свойства объектов.

3. Формулируется определение.

4. Дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Например, так можно ввести понятие параллелограмма.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода:

1. Формулируется определение понятия.

2. Выделяются существенные свойства.

3. Приводятся примеры и контрпримеры.

4. Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений.

Например, так можно ввести понятие квадратного уравнения.

10. Теоремы в школьном курсе математики и методика их изучения

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой. Рассмотрим структуру теоремы на примере. Итак, прямая теорема: вертикальные углы равны. Теорема сформулирована в категорической форме. Переведем ее в импликативную форму (с использованием логической связки «если …, то…»): если углы вертикальные, то они равны. В структуре теоремы выделяется:

1. разъяснительная часть (объект): два угла;

2. условие: вертикальность углов;

3. заключение: равенство углов.

Теорема простая. Вообще, теорема является простой, если имеет одно условие и одно заключение, сложной – если имеет несколько условий или несколько заключений.

Если из предложения А следует предложение В, т.е. А  В, то говорят, что А является достаточным условием для В, а В – необходимым условием для А. Таким образом, вертикальность углов есть достаточное условие их равенства, а равенство углов служит необходимым условием вертикальности.

Из предложений А и В с помощью импликации и отрицания могут быть составлены следующие сложные предложения:

1. Прямая теорема «Если А, то В».

2. Обратная теорема «Если В, то А».

3. Противоположная теорема «Если не А, то не В».

4. Обратная противоположной или противоположная обратной теорема «Если не В, то не А».

Схема зависимости между истинностью указанных предложений такова: предложения 1. и 4.; 2. и 3. одновременно истинны или ложны. Поэтому для установления истинности достаточно доказать две из четырех теорем.

В процессе работы по изучению теоремы выделяют следующие этапы:

1. Мотивация изучения теоремы.

2. Ознакомление с теоремой.

3. Усвоение содержания теоремы.

4. Запоминание формулировки теоремы.

5. Поиск доказательства теоремы.

6. Оформление доказательства теоремы.

7. Усвоение доказательства теоремы.

8. Применение теоремы.

9. Контроль и оценка усвоения теоремы.

Прием введения теоремы учитель выбирает в зависимости от характера изучаемого материала, наличия учебного времени, уровня развития учеников и других факторов:

• учеников готовят к самостоятельному «переоткрытию» теоремы;

• учеников готовят к сознательному восприятию новой теоремы (используют метод целесообразных задач), формулировка которой сообщают затем в готовом виде;

• учитель формулирует новую теорему без какой-либо предварительной подготовки, а затем сосредотачивает усилия обучающихся на усвоении и закреплении.

Усвоение теоремы можно провести раздельным методом, при котором процессы запоминания формулировки и формирования навыков применения протекают у школьников неодновременно, или компактным методом, при котором время на запоминание специально не выделяется. Схема компактного метода: 1) разделение формулировки теоремы на логические части; 2) образец действий, предлагаемый учителем (читает по частям текст и одновременно выполняет упражнение); 3) выполнение упражнений учениками, руководствующимися как подготовленным текстом, так и образцом, предложенным учителем.

Для закрепления теории учитель предлагает формулировать теоремы, встречающиеся по ходу решения задач, либо использует фронтальный опрос.