10. Методика изучения первообразной в школьном курсе математики

Теме «Первообразная» предшествует тема «Первообразная и ее применение». Такая последовательность изучения материала создает предпосылки для

1. понимания учениками взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений (зная функцию, можно установить характер локальной ее изменяемости в зависимости от изменения аргумента, и наоборот6 зная характер локальной изменяемости функции, можно найти либо саму функцию (при заданных начальных условиях), либо семейство функций;

2. осознания обучающимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа: он выступает и как язык, описывающий многие явления, процессы мира, и как инструмент, с помощью которого с учетом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

При рассмотрении элементов интегрального исчисления реализуется идея линеаризации. С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождения пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции, которую называют первообразной к исходной функции. Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной.

Если скорость меняется по закону v = v(t) и ее графиком является некоторая кривая, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади прямоугольника со сторонами v(t) и h. Точное значение пути будет равно площади образовавшейся криволинейной трапеции. Если в заданную кривую v(t) вписать некоторую ломаную, то путь можно вычислить с лучшим приближением, заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание прямоугольников, тем ближе сумма их площадей будет выражать площадь криволинейной трапеции. Так процесс линеаризации приводит к понятию определенного интеграла.

Учебный материал строится так, что вначале вводится понятие первообразной. Таблица первообразных получается из таблицы производных. В курсе математики средней школы нет понятия неопределенного интеграла (хотя в учебнике А.Г. Мордковича этот термин используется), поэтому определенный интеграл называют просто интегралом. Введение понятия определенного интеграла осуществляется в виде предела интегральных сумм. Интегральная сумма рассматривается в общем виде (отрезки разбиения могут быть необязательно равными) и предназначена только для ознакомления с понятием интеграла. Желательно, чтобы ученики понимали, что об интегральной сумме функции на отрезке, а затем и интеграле можно говорить и в том случае, когда функция не только непрерывна и положительна, но и принимает на этом отрезке любые значения, в том числе и отрицательные, и ноль. Формула Ньютона – Лейбница вводится практически одновременно с термином «интеграл». Эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы.

Центральное место во всем разделе, связанном с изучением элементов интегрального исчисления, занимает вычисление площадей плоских фигур. Основной фигурой считается криволинейная трапеция. При изучении этого материала важно правильно расставлять акценты: главное здесь – построение геометрических моделей и снятие соответствующей информации с чертежа, а не вычисление интегралов. Не ради изучения интеграла считаются площади, наоборот, интеграл изучается ради вычисления площадей.