13. Методика изучения геометрических построений в школьном курсе математики

В V – VI классах, на этапе пропедевтики, геометрические построения выполняют с помощью расширенного набора чертежных инструментов.

Геометрические построения в курсе планиметрии выполняют с помощью так называемых классических инструментов – циркуля и линейки. Для решения задачи на построение достаточно свести его к последовательности основных (и дополнительных) построений:

1. С помощью односторонней линейки:

Л₁. Построить отрезок, соединяющий две данные (или построенные) точки.

Л₂. Построить прямую, проходящую через две данные (или построенные) точки.

Л₃. Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.

2. С помощью циркуля:

Ц₁. Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу окружности.

Ц₂. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если даны центр окружности и концы дуги.

Дополнительные построения:

П₁. Построить (найти) точку пересечения двух данных прямых.

П₂. Построить (найти) точку пересечения данной прямой с данной окружностью.

П₃. Найти точки пересечения двух данных окружностей.

П₄. Взять на прямой или на окружности или вне их произвольную точку.

П₅. Провести на плоскости произвольную прямую.

Кроме основных и дополнительных построений в курсе планиметрии рассматривают элементарные геометрические построения (середины отрезка, биссектрисы угла и т.д.). Считается, что элементарные построения всегда можно выполнить, и объяснять, как они фактически проводятся, не принято.

Наиболее распространенными методами решения задач на построение в курсе планиметрии являются:

1. Метод двух геометрических мест. Сначала сводят задачу к построению одной точки. Затем разбивают условие на две части, каждая из которых приводит к геометрическому месту для неизвестной точки (каждое из этих геометрических меси должно быть либо прямой, либо окружностью).

2. Метод подобия. Сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому. Затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник.

3. Метод спрямления.

Схема решения задачи на построение включает в себя следующие этапы:

1. Анализ, т.е. отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи.

2. Выполнение построения по намеченному плану.

3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи.

4. Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений.

При изучении стереометрии возможны два пути решения задач на построение. Первый путь был предложен в учебнике геометрии для 9 – 10 классов средней школы А.П. Киселева, по которому учились многие поколения России, начиная с конца XIX до середины XX века. Задачи, предлагавшиеся в этом учебнике, решаются формально-логическим методом. При решении таких задач на построение не используют чертежные инструменты. Построения фактически не выполняют, а обосновывают логически. Эти логические обоснования сопровождаются иллюстративным чертежом - зарисовкой геометрических образов.

Второй путь предложен Н.Ф. Четверухиным в середине XX века – решение задач на построение на проекционном чертеже. Такой подход используется в настоящее время в школьной практике, однако в существенно сокращенном виде. Проекционным чертежом называют чертеж, полученный путем проектирования геометрического объекта на какую-то плоскость. Для школьной практики больше подходят чертежи, выполненные по методу произвольного параллельного проектирования, когда:

• Точка проектируется в точку.

• Прямая, не параллельная направлению проектирования, проектируется в прямую.

• Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой (инцидентность).

• Если точка делит отрезок в отношении λ, то и проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении.