7. Числовые последовательности и прогрессии в школьном курсе математики

С понятием числовой последовательности, способами ее задания, особыми последовательностями – прогрессиями – школьников знакомят в девятом классе. С различными последовательностями обучающиеся встречались и ранее: натуральный ряд чисел, последовательность квадратов чисел, последовательность четных чисел.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а именно функция натурального аргумента. Но традиционно определение последовательности не дают, а поясняют на конкретных примерах, показывая, что последовательность может быть задана словесно, аналитически или рекуррентно.

Последовательность рассматривают как некоторый упорядоченный (занумерованный) набор чисел. При введении понятия последовательности важно добиваться понимания понятий: предыдущий и последующий члены последовательности, номер члена последовательности, способ задания последовательности.

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов частью курса алгебры. Понятие последовательности находит применение в дальнейшем: при определении степени с действительным показателем, получении формулы сложных процентов, введении понятия определенного интеграла, который используют при нахождении площадей плоских фигур и объемов тел.

Арифметическую и геометрическую прогрессии определяют рекуррентными формулами. Хотя можно было бы определить прогрессии формулами их общих членов, а из них получить рекуррентные формулы. Названия прогрессий мотивируют их характеристическими свойствами:

• в арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов;

• в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

Формулы общих членов прогрессий выводят индуктивно. Их строгое доказательство можно провести методом математической индукции. Если прогрессии определены формулами их общих членов, то потребность в доказательствах отпадает.

Вывод формул суммы n первых членов прогрессий обосновывают свойствами верных числовых равенств.

Из всех геометрических прогрессий выделяют бесконечно убывающие, которые определяют дополнительным условием: модуль знаменателя меньше единицы. Эти прогрессии играют большую роль в математике и ее приложениях.

При рассмотрении таких прогрессий на наглядно-интуитивном уровне вводится важное математическое понятие предела последовательности как числа, к которому стремятся ее члены при неограниченном возрастании их номера n. Такое понимание предела используется при выводе формулы суммы бесконечно убывающей прогрессии. Формула суммы бесконечно убывающей прогрессии используется для обращения бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные.

8. Методика изучения понятия производной в школьном курсе математики

Основной идеей дифференциального исчисления служит представление о функции как линейной в достаточно малой окрестности точки. Поэтому первое направление пропедевтики понятия производной – глубокое изучение линейной функции. К моменту введения производной обучающиеся должны знать определение линейной функции, вид ее графика и утверждение: всякая прямая, не параллельная оси ординат, является графиком некоторой линейной функции. Важно, чтобы ученики имели отчетливое представление об угле, составленном прямой с осью абсцисс (величину этого угла называют углом наклона прямой). Главный итог пропедевтики данного направления - прочное усвоение того, что тангенс угла наклона прямой, являющейся графиком этой функции, равен угловому коэффициенту k.

Второе направление - введение понятий «касательная» и «кривая». Следует показать, что функции, графиками которых являются кривые, описывают многие важные физические и технические процессы. По сравнению с прямой кривые постоянно меняют наклон, меняют возрастание на убывание или наоборот; могут существовать значения y, которым соответствует не одно, а несколько значений x, т.е. кривые являются существенно боле сложными объектами для изучения, чем прямые. Отсюда возникает идея линеаризации, идея сведения изучения кривых к изучению некоторой ломаной, близкой к этой кривой, и далее к изучению отрезков ломаной, являющихся хордами, соединяющими две точки данной кривой. Впервые эту мысль высказал Г. Лейбниц (1646 – 1716), который утверждал, что на небольших промежутках кривая неотличима от прямой, а наклон секущей, проходящей через две точки кривой при сближении этих точек, можно заменить наклоном касательной.

Третье направление – работа над понятиями приращения аргумента и приращения функции. При введении этих понятий удобно использовать обозначения Δx, Δy, Δf(x) (а не обозначать их одной буквой), так как видно, приращение какой переменной рассматривается. Следует объяснить ученикам, что символ Δ заменяет слово «разность», но его нельзя отрывать от обозначения переменной, стоящей следом за Δ.. Заметим, что в учебнике алгебры Ю.М. Колягина понятия «приращение аргумента» и «приращение функции» не вводится. Производная определяется с помощью одного термина – «разностное отношение».

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение задач, которые показывают важность предела некоторого вида и тем необходимость его изучения. Такими задачами являются задачи о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела в точке, о линейной плотности в точке, о проведении касательной к графику функции.

В школьных учебниках встречаются несколько различных формулировок определений производной. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (по Башмакову М.И.). Значением производной функции y = f(x) в точке x называют предел отношения Δy к Δx при условии Δx → 0 (по Мордковичу А.Г.). Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел разностного отношения (f(x₀+h)-f(x₀))/ h при h → 0 (по Колягину Ю.М.). Так как в силу возрастных особенностей и недостаточной математической культуры школьникам не по силам «трехкванторное» определение предела, то жесткую модель (формальное определение) заменяют мягкой моделью – интуитивным представлением о пределе.

При изучении технического аппарата для оперирования с производной следует обращать внимание обучающихся на то, что есть формулы дифференцирования (для конкретных функций) и есть правила дифференцирования (дифференцирование операций сложения, умножения, деления). При вычислении производных практически используют двухшаговый алгоритм: сначала применяется то или иное правило дифференцирования, а затем используются нужные формулы.