2.Линия тождественных преобразований в школьном курсе математики

Раздел «Тождественные преобразования» занимает центральное место. Изучение тождественных преобразований, во-первых, имеет самостоятельное значение. Это обусловлено тем, что данный учебный материал связан со следующими вопросами:

а) обобщение операций над числами, проведение вычислений в «общем виде», обучение использованию букв в математике и ее приложениях;

б) классификация и распознавание алгебраических выражений, преобразование выражений к стандартному виду.

Во-вторых, тождественные преобразования играют роль вспомогательного «инструмента» при решении уравнений и неравенств, при использовании функций и ряде других тем школьного курса математики.

В современной школе рационально сочетаются два основных подхода к изложению раздела «Тождественные преобразования»: алгебраический и функциональный. Алгебраический подход устремляет внимание к букве и к операциям над буквами. На преобразуемое выражение смотрят как на формальное, не задумываясь над тем, какие значения принимают входящие в него буквы. Отправным началом функционального подхода является общее понятие функции как соответствия между независимыми и зависимыми переменными. Входящие в выражение буквы понимаются как переменные, а тождественные преобразования опираются на условие равенства функций (т.е. на равенство значений при всех допустимых значениях переменных).

В школьном курсе математики рассматривают различные выражения. Выражения, которые не содержат иных действий над переменными, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень с рациональным показателем, называют алгебраическими. Алгебраические выражения можно разбить на два класса: рациональные и иррациональные. К рациональным относят выражения, которые не содержат других действий над переменными, кроме сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. К иррациональным – выражения, содержащие извлечение корня или возведение в степень с дробным показателем. Рациональные выражения также можно разбить на два класса: на множество целых выражений и множество дробных. К целым рациональным выражениям относят выражения, которые не содержат деления на выражение с переменными. Основные приемы разложения на множители:

• вынесение общего множителя за скобки; способ группировки;

• формулы сокращенного умножения;

• формула разложения на множители квадратного трехчлена.

Дробными считают те рациональные выражения, которые содержат деление на выражение с переменными и возведение переменной в степень с отрицательным показателем. Основной прием преобразований: разложение на множители числителя и знаменателя. Кроме алгебраических, в школьном курсе рассматривают выражения, которые содержат переменные под знаком lg, sin, cos, tg, знаком модуля, а также выражения, содержащие операцию возведения в степень с иррациональным показателем. Такие выражения называются неалгебраическими.

Существует несколько подходов к определению тождества, используемые на различных ступенях обучения:

1. Равенство, верное при любых значениях переменной, называется тождеством.

2. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называется тождеством.

3. Равенство, верное при любых значениях переменной, принадлежащих данному множеству, называется тождеством на этом множестве.

При доказательстве тождеств возможно использование одного из трех способов:

1. Преобразование выражения, стоящего в левой части равенства к виду, который имеет выражение, стоящее в правой части или, наоборот, правое к левому.

2. Преобразование и левой, и правой части равенства к одному и тому же выражению.

3. Нахождение разности между левой и правой частями равенства.

Техника выполнения тождественных преобразований предполагает один из двух способов: цепочкой либо по действиям.