14. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве в школьном курсе математики

При изучении перпендикулярности исходят из общей схемы взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, с которой обучающиеся знакомились в начале курса стереометрии, что дает возможность связать перпендикулярность в пространстве с аксиоматикой стереометрии. Эта тема имеет большой прикладной характер, поэтому при ее изучении особое внимание уделяют решению задач, используя для этого многогранники, призмы, пирамиды. Перпендикулярность геометрических элементов в пространстве рассматривают в таком порядке:

1. Перпендикулярность прямых в пространстве.

2. Перпендикулярность прямой и плоскости.

3. Перпендикулярность плоскостей.

Первый раздел рассматривается как повторение пройденного ранее, которое проводят по следующему плану:

• определение взаимно перпендикулярных прямых;

• пересекающиеся и скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые;

• иллюстрация их на моделях многогранников и в окружающей действительности.

Как известно, параллельность двух прямых в пространстве сводится к их параллельности на плоскости, так как всякие две параллельные прямые по определению параллельности лежат в одной плоскости. Возникает вопрос: имеет ли место аналогичное положение в случае перпендикулярности двух прямых? В планиметрии перпендикулярные прямые определяюткак образующие прямые углы. Если это определение сохранить и в стереометрии, то из него не вытекает принадлежность этих прямых одной плоскости – скрещивающиеся прямые могут образовывать прямые углы. Таким образом, важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек.

При введении определения перпендикулярных прямой и плоскости важную роль играет применение моделей. Особенно важна демонстрация контрпримеров. Например, модель прямой а, которая не перпендикулярна хотя бы одной прямой в, лежащей в данной плоскости, не вызывает у учеников наглядных представлений о перпендикулярности прямой а и плоскости, что существенно для верного понимания определения.

Далее показывают, что определение недостаточно, чтобы судить о перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку прямых, принадлежащих плоскости, бесчисленное множество. В итоге формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости. Эта теорема лежит в основе построения прямой, перпендикулярной данной плоскости, и плоскости, перпендикулярной данной прямой. Понятие перпендикуляра вводят одновременно с понятием наклонной к плоскости.

На основе перпендикулярности прямой и плоскости вводят такие понятия, как расстояние от точки до плоскости, угол между прямой и плоскостью, а также доказывают теорему о трех перпендикулярах, имеющую общее значение для дальнейшего изучения курса стереометрии, в частности для изучения многогранников.

Изучение перпендикулярности прямой и плоскости связывают с повторением темы «Параллельность в пространстве». В условиях теорем, характеризующих эту взаимосвязь, фигурируют тройки объектов: две прямые и плоскость, две плоскости и прямая. Теоремы рассматриваются попарно. При этом вторая пара получается из первой заменой в формулировках двух прямых двумя плоскостями, а плоскости – прямой.

По аналогии с перпендикулярностью прямых о перпендикулярности двух плоскостей судят по углу между ними. С этой целью вводят понятие двугранного угла, которое закрепляется при рассмотрении моделей куба, параллелепипеда, призмы. Определение и признак перпендикулярности плоскостей – центральные вопросы данного раздела.