15. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве в школьном курсе математики

Взаимное расположение двух прямых на плоскости известно ученикам с седьмого класса. В курсе стереометрии прямые рассматривают на конкретных пространственных фигурах и дают определение скрещивающихся прямых, введение которых расширяет кругозор и пространственные представления школьников. Особое внимание уделяют признаку скрещивающихся прямых, который лежит в основе их построения. Перед формулировкой признака иллюстрируют скрещивающиеся прямые, используя каркасные модели многогранников. При этом подмечают такую их особенность: одна прямая из этих двух пересекает плоскость, в которой лежит другая прямая, в точке, не принадлежащей ей. На основании этого выполняется рисунок, дается формулировка признака, проводится доказательство.

Важно заострять внимание учеников на вопросе: что значит, две прямые не являются скрещивающимися. В этом случае прямые либо параллельны, либо пересекаются. Ответить на вопрос помогает схема взаимного расположения двух прямых в пространстве, оформленная в виде таблицы.

Для распознавания параллельности прямых в пространстве используют свойство транзитивности: если две прямые параллельны третей, то они параллельны между собой.

Важным расширением понятия параллельности является параллельность прямой и плоскости. Если прямую, лежащую в плоскости считать параллельной плоскости, то в схеме о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве будут два случая: параллельность и пересечение. Поскольку прямая и плоскость безграничны, то по определению не всегда можно судить о том, что данная прямая и плоскость параллельны. Возникает признак параллельности прямой и плоскости.

Дальнейшим шагом является изучение параллельности плоскостей. Аналогично параллельности прямой и плоскости рассматривают возможное число общих точек у двух плоскостей. Две различные плоскости не могут иметь только одну общую точку, ибо на основании известной аксиомы они будут иметь общую прямую, проходящую через эту точку. По этой же причине две плоскости не могут иметь две, три, конечное число общих точек. В заключение делают общий вывод о возможных положениях двух плоскостей в пространстве. Затем формулируют определение параллельных плоскостей, рассматривают признак параллельности двух плоскостей.

В тему «Параллельность в пространстве» включен раздел о параллельной проекции и ее свойствах, которые носят сугубо практический характер и способствуют развитию пространственных представлений школьников. В процессе изучения этого раздела формируют навыки изображения пространственных фигур на плоскости и решения задач на построение сечений многогранников плоскостью. При этом задачи на построение сечений разбивают на группы:

• задачи на построение сечения многогранника плоскостью, след которой на плоскости основания многогранника;

• задачи на построение следа секущей плоскости на основании многогранника;

• задачи на построение сечения многогранника плоскостью, след которой на плоскости основания многогранника не задан.

16. Методика изучения элементов тригонометрии в школьном курсе математики

Раздел школьного курса математики, называемый тригонометрией, неоднократно претерпевал изменения как по содержанию, так и по времени его изучения. Так, в прошлом тригонометрия была даже самостоятельным учебным предметом; в школе рассматривалась и тригонометрическая форма комплексного числа. В настоящее время в основной школе изучается тригонометрия треугольника, а в старшей школе тригонометрия составляет целостный раздел курса алгебры и начал анализа.

В школьной тригонометрии можно условно выделить три основных вопроса:

• тригонометрическая форма записи действительного числа и ее свойства;

• рассмотрение преобразований тригонометрических выражений (включая решение уравнений) по формулам как алгебраическим, так и собственно тригонометрическим;

• тригонометрические функции (прямые и обратные).

Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой окружности: текущая точка движется по окружности, в качестве четвертей рассматриваются дуги окружности и т.д. При этом у обучающихся возникают следующие трудности: непривычная модель (числовая окружность) и непривычный способ введения функций (синус как ордината, косинус как абсцисса точки числовой окружности).

Центральными формулами тригонометрии служат формулы сложения, так как все другие можно получить как следствия: формулы двойного и половинного углов, формулы приведения, преобразования суммы и разности в произведение. Чтобы помочь школьникам осуществить удачный выбор той или иной формулы при решении конкретных достаточно сложных примеров рекомендуют такой рецепт: если можно использовать формулы приведения, то с этого следует начать; видишь сумму – делай произведение; видишь произведение – делай сумму; видишь квадрат – понижай степень.

Решение тригонометрических уравнений путем различных преобразований сводится к решению простейших. Следует давать ученикам возможность разобраться со спецификой собственно тригонометрических уравнений, содержащих много нового и неожиданного: бесконечное множество корней, наличие параметра (n или k) в записи решений, новые символы (так называемые «арки») и другие сложности (типа (-1)ⁿ). Типология тригонометрических уравнений весьма разнообразна: сводящиеся к квадратным, линейные, однородные, решаемые разложением на множители, решаемые методом замены переменных. Весьма трудным в методическом плане является вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях, который производят такими приемами как перебор по параметру или решение двойного неравенства.

При изучении тригонометрических функций наиболее существенное значение имеют такие вопросы:

• определение тригонометрических функций числового аргумента;

• характеристическое свойство тригонометрических функций – периодичность;

• обратные тригонометрические функции и использование их для решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Важно выделять все существенные признаки понятия «тригонометрическая функция числового аргумента» исходя из двух понятий: «числовая функция» и «тригонометрическая функция углового аргумента». При рассмотрении понятия «тригонометрическая функция числового аргумента» важно сделать актуально осознаваемой школьниками идею соответствия каждому действительному числу (значения аргумента) другого действительного числа (значения тригонометрической функции).