11. Изучение векторов в школьном курсе математики

Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики, где вектор рассматривается как элемент векторного пространства. Однако в школьном курсе математики понятие «векторное пространство» не изучают, поэтому существуют различные подходы к введению вектора.

В настоящее время понятие вектора и действий над векторами вводят так, как это принято в физике. Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением называют в физике векторными и изображают отрезками со стрелками. Геометрический вектор вводится как направленный отрезок, т.е. отрезок, на котором дано направление от одного конца к другому. Поэтому для точного описания вектора нужно знать его величину и направление.

Операции над векторами, которые изучают в средней школе, следующие:

• сложение (вычитание) векторов;

• умножение на число;

• скалярное произведение векторов.

Чаще всего эти операции вводят в геометрической форме. Затем рассматривают координаты вектора и правила действий над векторами с заданными координатами.

Изучение векторов в курсе геометрии преследует две цели: подготовить учеников к восприятию действий над векторами в физике и показать, как можно использовать векторы при решении геометрических задач. Поэтому основное внимание уделяют не обоснованиям формул и теорем векторной алгебры, а умению выполнять действия над векторами и демонстрации возможностей векторного метода в геометрии.

Введенный в среднюю школу векторный аппарат дает новый метод для решения геометрических задач. По значимости его можно сравнить с методом составления уравнений. Векторный метод эффективен при:

• доказательстве параллельности прямых и отрезков;

• обосновании утверждения о делении отрезка данной точкой в указанном отношении;

• выяснении принадлежности трех точек одной прямой;

• доказательстве перпендикулярности прямых и отрезков;

• доказательстве зависимостей между длинами отрезков;

• нахождении величины угла.

Умение применять векторы в различных конкретных ситуациях предполагает умения:

• переводить геометрический язык на векторный и обратно;

• выполнять операции над векторами;

• представлять вектор в виде суммы векторов, разности векторов, произведения вектора на число;

• преобразовывать векторные равенства;

• переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот;

• выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

• выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Так как векторный метод является новым для учеников, необходимо:

• заинтересовать школьников, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;

• обучить некоторым эвристикам (системе определенных правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые способствуют созданию навыка в применении векторного метода;

• обучать методу на простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического характера.