9. Приложения производной в школьном курсе математики

Одной из центральных тем в курсе «Алгебры и начал анализа» является тема «Применение производной». Если в теме «Производная» понятие производной выступало в качестве предмета изучения, то в данной теме оно является средством изучения других вопросов курса математики. А именно рассматривается применение производной к исследованию функций и решению задач на оптимизацию.

При изучении вопроса о построении касательной к графику функции следует обращать внимание обучающихся на следующие два факта:

1. Если производная функции в какой-либо точке существует, то это означает, что к графику функции в этой точке можно провести касательную, и притом только одну; если же производная в какой-либо точке не существует, то такой касательной провести нельзя или касательная вертикальна.

2. Если производная функции в какой-либо точке равна 0, то это означает, что угловой коэффициент касательной, проведенный к графику функции в этой точке, равен нулю, а из этого в свою очередь следует, что касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси абсцисс.

С помощью производной аналитически устанавливают много важных свойств функции. Если производная функции существует в каждой точке некоторого промежутка, т.е. функция дифференцируема на нем, то она непрерывна на этом промежутке; обратное утверждение неверно. Если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает; если производная отрицательна – убывает. Если функция дифференцируема в окрестности некоторой точки и имеет в этой точке производную, равную нулю, то данная точка является точкой максимума, или минимума, или точкой перегиба. Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными. Точки, в которых производная равна нулю или в которых функция недифференцируема, называют критическими. Функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной, например y = | x | в точке x = 0.

Стандартно определение вида экстремума связано с переменой знака производной функции при переходе через точку экстремума. Желательно показать обучающимся, что это можно сделать проще – по знаку второй производной: если вторая производная в этой стационарной точке положительна, то данная точка есть точка минимума; если отрицательна, то данная точка – точка максимума; если равна нулю, то точка перегиба.

Кроме критических точек, важное значение имеют точки разрыва функции, нули функции, а также точка x = 0. Если область определения функции состоит из нескольких промежутков, то полезно рассматривать граничные точки, т.е. концы промежутков.

Исследование функции с помощью производной проводится по общей схеме:

а) нахождение области определения функции;

б) нахождение производной функции;

в) нахождение критических точек данной функции;

г) нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции (проведенное исследование оформляют в виде таблицы);

д) построение графика функции.

За годы изучения курса алгебры ученики имеют определенный опыт отыскания наибольшего и наименьшего значения. Чаще всего эту задачу решают с помощью графика. В некоторых случаях можно найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика. В более сложных случаях используется производная. Эту мысль следует довести до обучающихся. Они должны понимать, что производная в данном случае – не панацея, а лишь одно из возможных средств для достижения цели.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке функции нужно:

1. найти значения функции на концах отрезка;

2. найти ее значения в критических точках;

3. из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Процесс решения задач на оптимизацию проходит по следующему алгоритму:

1. Выявить величину, наименьшее (наибольшее) значение которой требуется найти.

2. Ввести переменную, через которую выражается эта величина.

3. Указать допустимые значения введенной переменной.

4. Записать величину как функцию введенной переменной.

5. Найти наименьшее (наибольшее) значение функции или точку, в которой оно достигается на заданном интервале.