3. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики

Среди математиков и методистов велись и поныне ведутся споры по поводу трактовки понятие «уравнение». Известна точка зрения, согласно которой тождество как равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв, противопоставляется уравнению как равенству, справедливому не при всех допустимых значениях букв – неизвестных. Известна другая точка зрения, согласно которой тождество не противопоставляется уравнению, а трактуется как его частный случай, причем уравнение рассматривается как равенство значений двух функций. В традиционном подходе уравнением называется равенство, содержащее переменную.

Среди уравнений, изучаемых в школе, различают алгебраические и трансцендентные. К алгебраическим относят линейные, квадратные, кубические, биквадратные, дробно-рациональные, иррациональные. К трансцендентным – показательные, логарифмические и тригонометрические.

Принцип решения уравнений и неравенств основан на понятии равносильности. Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней (решений), называются равносильными. С учениками рассматривают положения равносильности:

• прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения (не теряющего смысла);

• умножение каждой части уравнения на одно и то же, не равное нулю, число;

• возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень.

Линейные уравнения решаются аналитическим и графическим методами. Основной этап алгоритма аналитического метода: перенести члены, содержащие неизвестное в левую часть, а свободные – в правую. Решение систем линейных уравнений осуществляется способом подстановки, способом сложения, графическим способом.

В курсе основной школы используются такие способы решения квадратных уравнений:

• выделение полного квадрата;

• разложение левой части на множители;

• по формулам;

• по теореме, обратной теореме Виета;

• графический способ.

Дробно-рациональные уравнения приводят к виду f(x)/g(x)=0, которое равносильно системе f(x)=0 и g(x)≠0.

Для решения уравнений третьей и четвертой степеней пользуются приемами разложения многочленов на множители, а если это невозможно, то применяют метод подбора корней, используя затем для разложения на множители деление многочлена на многочлен.

Для решения биквадратных уравнений используют прием замены переменной.

Иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения (неравенства) рассматриваются в связи с изучением соответствующих функций и используются для лучшего усвоения их свойств.

В основу решения многих задач положено определение числового неравенства: число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Алгоритм решения линейных неравенств аналогичен алгоритму решения линейных уравнений.

Квадратные и дробно-рациональные неравенства решаются сведением к совокупности систем линейных неравенств, методом интервалов, графически.

Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, требует знания определения модуля и алгоритма решения систем уравнений и неравенств.