35. Причины возникновения и примеры нелинейностей в оптимизационных экономических задачах

Классификационный признак задач оптимизации — свойства функций f и множеств W. Например задачи называются линейными (часто говорят о задачах линейного программирования), если функция f — аффинная, а множество W — многогранное (множество W называется многогранным, если оно выделяется ограничениями с аффинными функциями g0 и g1).

Если функции f, g0 и g1 квадратичные, то говорят о задачах квадратичного программирования или о квадратичных задачах оптимизации (условных или безусловных). Если эти функции выпуклые, то говорят о задачах выпуклого программирования (если множество W задается каким-либо другим образом, а не только ограничениями типа (4) и (5), то в задачах выпуклого программирования требуют его выпуклость). Наконец, в общем случае говорят о задачах нелинейного программирования. В таких задачах обычно предполагается гладкость фигурирующих в них функций.

Пример нелинейной задачи.

Задачи о распределении ресурсов.

Общий смысл таких задач — распределить ограниченный ресурс между потребителями оптимальным образом. Рассмотрим простейший пример — задачу о режиме работы энергосистемы. Пусть m электростанций питают одну нагрузку мощности p. Обозначим через xj активную мощность, генерируемую j-ой электростанцией. Техническими условиями определяются возможный минимум mj и максимум Mj вырабатываемой j-ой электростанцией мощности. Допустим затраты на генерацию мощности x на j-ой электростанции равны ej(x). Требуется сгенерировать требуемую мощность p при минимальных затратах. В наших обозначениях

Если обозначить через через W, то эта задача переписывается так

32. Составление дополнительных ограничений

Целочисленное решение может быть найдено с использованием алгоритма, предложенного Гомори, который состоит в следующем.

Симплексным методом находят оптимальное решение задачи. Если решение целочисленное, то задача решена. Если же оно не целочисленное и содержит хотя бы одну дробную координату, то накладывают дополнительное ограничение (неравенство)

и находят решение задачи.

В неравенстве a_ij* и b_i*- преобразованные исходные величины a_ij и b_i, значения которых взяты из последней симплекс-таблицы, а f(a_ij*) и f(b_i*) - дробные части чисел (под дробной частью некоторого числа a понимается наименьшее неотрицательное число b такое, что разность между a и b есть целое). Если в оптимальном плане задачи дробные значения принимают несколько переменных, то дополнительное неравенство определяется наибольшей дробной частью.

Если и новое решение является не целочисленным, то вновь накладывают дополнительное ограничение по целочисленности. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение или показано, что задача не имеет целочисленного решения.

Алгоритм решения задач линейного программирования графическим методом. 10

Алгоритм стандартного симплекс-метода. 13

Выпуклые множества и теорема Куна-Таккера. 40 тетр

Геометрическая интерпретация задач линейного программирования. 9

Задача о назначениях 26 тетр

Задача рационального использования ресурсов. Экономический смысл ограничений двойственных задач, их переменных и их оптимальных решений. 18

Игра как математическая модель конфликта. 42

Классификация моделей и задач в математическом программировании. 3

Критерий оптимальности в стандартном симплекс-методе. 12

Матричные игры двух лиц. 43

Метод ветвей и границ. 34 тетр

Метод Гомори, его геометрическая интерпретация и алгоритм. 33 тетр

Метод множителей Лагранжа. 38

Метод потенциалов решения транспортной задачи. 23

Методы составления начальных опорных планов в транспортной задаче. 22

Модели закрытой и открытой ТЗ. 21

Определение границ устойчивости двойственных оценок. 29

Определение дефицитных видов ресурсов и убыточных видов продукции. 28

Оценки как мера дефицитности ресурсов и рентабельности отдельных видов продукции. 19

Понятие вырожденности в линейном программировании. 14

Понятие об отдельных подклассах задач: квадратичного, геометрического, дробно - линейного, выпуклого программирования. 36 тетр

Постановка задач нелинейного программирования и их геометрическая интерпретация. 37

Построение опорных планов в симплексном методе решения ЗЛР. 11

Построение экономико-математических моделей. 6

Предмет и задачи курса. Методы и область применения дисциплины. 1

Примеры экономических задач. 2

Принципы построения экономико – математических моделей. 5

Причины возникновения и примеры нелинейностей в оптимизационных экономических задачах. 35

Разница между глобальным и локальным оптимумом, точным и приближённым решением задачи. 41 тетр

Решение ЗЛП с использованием ПК. 27 тетр

Решение матричных игр аналитическим способом 46

Решение матричных игр графическим способом 45

Решение матричных игр: детерминирование строк и столбцов. 44

Решение ТЗ по критерию времени 25 тетр

Сведение матричных игр к задаче линейного программирования 47 тетр

Свойства задач линейного программирования. 8

Седловые точки в задачах нелинейного программирования. 39 тетр

Симметричные двойственные задачи и правила их построения. 16

Симплекс-метод с искусственным базисом. 15

Составление дополнительных ограничений 32 тетр

Теоремы двойственности. 17

ТЗ с ограничениями на пропускную способность. 24 тетр

Условно-оптимальное решение. 31 тетр

Формы записи задач линейного программирования . 7

Экономические примеры, математическая постановка задачи целочисленного программирования. 30

Экономический смысл третьей теоремы двойственности. 20 тетр

Этапы решения экономических задач математическими методами. 4