31. Условно-оптимальное решение

Значительная часть задач производственного менеджмента, относящихся к задачам линейного программирования, требует целочисленного решения. К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции. Целочисленное программирование ориентировано на решение задач, в которых все или некоторые переменные должны принимать только целые значения. Задача называется полностью целочисленной, если условие целочисленности наложено на все ее переменные; когда это условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично целочисленной.

Существует эвристический подход к решению задач целочисленного программирования (ЗЦП), основанный на решении ЗЦП как задачи ЛП. Использование процедур округления нецелочисленного оптимального решения задачи ЛП дает возможность получать приближенное оптимальное целочисленное решение. Однако, истинное оптимальное целочисленное решение может не совпадать ни с одним из условных

Также условно-оптимальное решение может быть получено решением задачи с ослабленными ограничениями, которая возникает в результате исключения требования целочисленности переменных. Если полученное оптимальное решение оказывается целочисленным, то оно является также решением исходной задачи. В противном случае следует ввести дополнительные ограничения, порождающие (вместе с исходными ограничениями) новую задачу линейного программирования, решение которой оказывается целочисленным и совпадает с оптимальным решением исходной целочисленной задачи..

45. Решение матричных игр графическим способом

Игры  и  легко и наглядно решаются графическим методом. Его можно также применять  к играм с матрицами   и .

Рассмотрим игру с матрицей

Пусть А  применяет свою смешанную стратегию ϕ, а В – свою чистую стратегиюΨ. Тогда средний выигрыш А равен:

, где   , , .

или (13) при .

 

Если  (т.е. игрок А использует только свою чистую стратегию  ϕ₂), то выигрыш А: .

Если  (т.e. игрок А применяет только свою чистую стратегию ϕ₁), то выигрыш А: .

Уравнение (13) есть уравнение прямой в системе координат (p₁0y).

 

 Рис. 2.1.

 Ограничение  показывает, что рассматривается лишь отрезок этой прямой .

Если игрок B применяет свою вторую чистую стратегию , то выигрыш  игрока A:

,

при .

Если , то , и если , то . Построим на том же графике (рис. 2.1) прямую  согласно уравнению (14). Таким образом, выигрыш A есть ордината точки , вычисленная по формуле (13) или (14).

Действуя осторожно, игрок A должен считать тот платеж, который соответствует наименьшему из значений  и , т.е. геометрическое место гарантированных выигрышей игрока A представляет собой ломаную линию . Максимальный гарантированный выигрыш игрока A равен максимальной ординате ломаной, т.е. ординате точки N,  а абсцисса этой точки  есть оптима­льное значение  для игрока A. Таким образом, оптимальной стратегией для A является  а ордината точки .

44. Доминирование строк и столбцов

Если элементы некоторой строки i₁ матрицы A меньше соответствующих элементов другой строки i₂, то интуитивно ясно, что строку i₁ первому игроку можно не использовать. Сформулируем условия доминирования строк и столбцов матрицы игры, позволяющие уменьшить ее размеры.

Определение. Будем говорить, что вектор a = (a₁, ..., a_l) слабо доминирует вектор b = (b₁, ..., b_l), если a_i ≥ b_i, i = 1, ..., l. Будем говорить о строгом доминировании, если все нестрогие неравенства ≥ заменены на строгие >. Заметим, что слабое доминирование

возможно даже в случае равенства векторов a и b.

Для векторов a⁽ⁱ⁾ , i = 1, ...,m, евклидова пространства и чисел p_i ≥0, i =1, ...,m, , линейная комбинация называется выпуклой комбинацией векторов a⁽ⁱ⁾ с коэффициентами p_i.

Теорема 4.1 (О доминировании строк). Пусть некоторая строка матрицы A слабо доминируется выпуклой комбинацией остальных строк. Тогда эта строка входит с нулевой вероятностью в некоторую оптимальную смешанную стратегию первого игрока. Если указанное доминирование строгое, то эта строка входит с нулевой вероятностью в любую оптимальную смешанную стратегию первого игрока. Доминируемые строки можно вычеркнуть из матрицы игры.

Отметим, что при исключении строго доминируемых строк оптимальные смешанные стратегии первого игрока сохраняются. При слабом доминировании оптимальные стратегии могут теряться. В качестве примера достаточно рассмотреть матрицу игры с равными элементами.

Теорема 4.1’ (О доминировании столбцов). Пусть некоторый столбец матрицы A слабо доминирует выпуклую комбинацию остальных столбцов этой матрицы. Тогда этот столбец входит с нулевой вероятностью в некоторую оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Если указанное доминирование строгое, то этот столбец входит с нулевой вероятностью в любую оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Доминирующие столбцы можно вычеркнуть из матрицы игры.