34. Метод ветвей и границ
Впервые метод ветвей и границ был предложен в 1960 г. А. Лэндом и А. Дойгом применительно к задаче целочисленного линейного программирования. Фактически «второе рождение» этого метода связано с работой Дж. Литтла, К. Мурти, Д. Суини и С. Кэрела. В ней же было предложено и принятое теперь название метода: «метод ветвей и границ». Он применим как к полностью, так и частично целочисленным задачам.
Приведем описание идеи данного метода. Рассматривается целочисленная (частично целочисленная) задача линейного программирования: минимизировать
(13.26)
при условиях
(
13.27)
(13.28)
(13.29)
Многогранное
множество (13.27) – (13.28) предполагается
ограниченным. Как в методах отсечения,
процесс начинается с решения задачи
линейного программирования (13.26) –
(13.28). Если полученный при этом оптимальный
план
не удовлетворяет условиям целочисленности
(13.29), то значение целевой функции
на этом плане дает нижнюю границу
для исходного оптимума, т.е.. Пусть
– целочисленная переменная, значение
которой в оптимальном плане
задачи
является дробным
.
Интервал
не
содержит допустимых целочисленных
компонентов решения. Поэтому в оптимальном
плане значение
должно удовлетворять одному из неравенств:
.
Если
границы изменения
заранее не заданы, то их можно вычислить,
решив для этого две вспомогательные
задачи линейного программирования,
заключающиеся в максимизации и минимизации
при условиях (13.27) – (13.28). Введение их в
задачу без учета ограничения (13.29)
порождает две не связанные между собой
задачи. В этом случае говорят, что задача
разветвляется (или разбивается) на две
подзадачи. Осуществляемый в процессе
ветвления учет ограничения (13.29) позволяет
исключить части многогранника допустимых
решений, не содержащие точки с целыми
координатами. Теперь каждая подзадача
решается как задача линейного
программирования (с целевой функцией
исходной задачи) с условиями (13.27) и
дополнительным ограничением
.
Если полученный оптимум оказывается
допустимым для целочисленной задачи,
такое решение следует зафиксировать
как наилучшее. При этом нет необходимости
продолжать «ветвление» подзадачи,
поскольку улучшить найденное решение,
очевидно, не удастся. В противном случае
подзадача вновь разбивается на две
подзадачи при условии целочисленности
переменных, значения которых в оптимальном
решении не являются целыми. Как только
полученное допустимое целочисленное
решение одной из подзадач оказывается
"лучше" имеющегося, оно фиксируется
вместо зарегистрированного ранее.
Процесс ветвления продолжается до тех
пор, пока каждая подзадача не приведет
к целочисленному решению или пока не
будет установлена возможность улучшения
имеющегося решения. Зафиксированное
допустимое решение и будет оптимальным.
Эффективность вычислений можно повысить, введя в рассмотрение понятие границы, на основании которого делается вывод о необходимости дальнейшего дробления каждой из подзадач. Если оптимальное решение подзадачи без требования целочисленности обеспечивает "худшее" значение целевой функции по сравнению с имеющимся, эту подзадачу далее рассматривать не следует.
Вышеизложенное
можно представить в виде некоторого
дерева задач, в котором вершина
отвечает исходному плану
,
а каждая из соединенных с ней ветвью
вершина отвечает оптимальному плану
задачи (13.26) – (13.28) при дополнительном
условии
.
Каждой из вершин приписывается граница
,
равная минимальному (максимальному –
в случае максимизации) значению z
для соответствующей задачи. Ясно, что
для всех k.
39. СЕДЛОВАЯ ТОЧКА в математическом анализе – такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является ее локальным экстремумом. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал - выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр "восьмерки", образованной соответствующими изолиниями.
В общем случае, седловой точкой гладкой функции (чей график изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая, поверхность, гиперповерхность не лежит полностью на одной стороне касательного пространства в данной точке.
В случае функции одной переменной, седловая точка - такая точка, которая одновременно и стационарная точка, и точка перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).