65. Проверка временного ряда на наличие тренда

Общий алгоритм проверки временного ряда длины на стационарность следующий:

1. Временной ряд делится на равных интервалов, причем наблюдения в разных интервалах полагаются независимыми.

2. Вычисляются оценки параметров ряда (среднего значения, дисперсии и т. п.) для каждого интервала. Эти оценки образуют последовательность, или временной ряд оценок параметров, например, ряд средних значений.

3. Временной ряд оценок проверяется на наличие тренда или других изменений во времени, которые нельзя объяснить только выборочной изменчивостью оценок. Если тренд оценки существует, то ряд рассматривается как нестационарный по этой оценке.

В основе проверки на наличие тренда лежит тот факт, что для стационарной реализации оценки, вычисленные по разным интервалам ряда, являются независимыми случайными величинами. Другими словами, необходимо провести тест на статистическую зависимость между элементами временного ряда оценок. Такой тест может быть осуществлен различными способами (в том числе, визуальным), которые включают как параметрические, так и непараметрические критерии. Параметрические критерии можно использовать, если известна частотная структура процесса. Как правило, такая информация отсутствует, поэтому применяются непараметрические критерии, например, критерий инверсий, который представляет собой наиболее мощное средство для обнаружения монотонных трендов во временных рядах и проверки гипотезы о статистической независимости наблюдений.

55. Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

-доверительным интервалом называется интервал вида     где такой, что

Число называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью .

Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями. Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п.

56. Проверка гипотез

Если возможно выдвинуть несколько взаимоисключающих «гипотез» о распределении элементов выборки, то возникает задача выбора одной из этих гипотез на основании выборочных данных. Как правило, по выборке конечного объема безошибочных выводов о распределении сделано быть не может, поэтому приходится считаться с возможностью выбрать неверную гипотезу.

Пусть дана выборка из распределения F. Если не оговорено противное, считается, что все наблюдения имеют одно и то же распределение. В ряде случаев это предположение также нуждается в проверке – в таких случаях одинаковая распределенность наблюдений не предполагается. То же касается и независимости наблюдений.

Гипотезой (H) называется любое предположение о распределении наблюдений:

H={F=F₁} или H={F}

Гипотеза H называется простой, если она однозначно определяет распределение, т.е. H={F=F₁}. Иначе H называется сложной гипотезой. Сложная гипотеза предполагает, что распределение F – одно из некоторого множества распределений 

Если гипотез всего две, то одну из них принято называть основной, а другую – альтернативой или отклонением от основной гипотезы.

Пример (типичные постановки задач).  

1. Выбор из нескольких простых гипотез: H={F= F₁}, (и другие предположения невозможны).

2. Простая основная гипотеза и сложная альтернатива: , .

Например, , .

Еще вариант: дана выборка из семейства распределений , где . Простая гипотеза . Сложная односторонняя альтернатива . Случай исключен априори.

3. Сложная основная гипотеза и сложная альтернатива: , .

Например, гипотеза о нормальности

, .

4. Гипотеза однородности. Заданы несколько выборок: из распределения , , из распределения . Проверяется гипотеза – сложная гипотеза – против (сложной) альтернативы .

5. Гипотеза независимости. Наблюдается пара случайных величин . По выборке из независимых наблюдений над парой проверяется гипотеза – сложная гипотеза – против (сложной) альтернативы .

6. Гипотеза случайности. В эксперименте наблюдаются случайных величин . По выборке ,  ,  , в которой каждая случайная величина представлена одним значением, проверяется гипотеза – сложная гипотеза – против (сложной) альтернативы .