30. Постановка задачи целочисленного линейного программирования
Среди практически важных задач отыскания условного экстремума линейной функции особое место занимают задачи с требованием целочисленности всех (части) переменных. Задача называется полностью целочисленной, если условие целочисленности наложено на все переменные. Когда данное условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично-целочисленной. Если при этом целевая функция и функции, входящие в ограничения, ‑ линейные, то задача называется линейной целочисленной.
Каноническая задача целочисленного линейного программирования:
Максимизировать
функцию
(1)
при
условиях
(2)
(3)
(4)
Если
,
то задача (1) – (4) – полностью
целочисленная, если
– частично целочисленная задача
линейного программирования.
Задача
о коммивояжере.
Имеется n городов. Выезжая из одного,
коммивояжер должен объехать все и
вернуться в исходный. В каждый город
можно заезжать только один раз, поэтому
маршрут коммивояжера образует замкнутый
цикл без петель. Задана матрица
расстояний между городами (считаем, что
);
разумеется
.
Матрица расстояний не предполагается
симметричной. Требуется найти кратчайший
замкнутый маршрут.
Построим математическую модель задачи, обозначая:
где
.
Требуется минимизировать
(13.34)
при условиях
(13.35)
(13.36)
(13.37)
Здесь
и
– произвольные вещественные значения.
Покажем, что модель (13.34) – (13.37) описывает задачу о коммивояжере. Действительно, условие (13.35) означает, что торговец из каждого города выезжает только один раз; (13.36) – въезжает в каждый город только один раз; (13.37) – обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего n городов, и отсутствие петель.
Задача о коммивояжере наиболее эффективно решается методом ветвей и границ. Имеет большое прикладное значение.
30. Понятие об отдельных подклассах задач
К
задачам квадратичного
программирования
относят специальный класс задач НП, для
которых целевая функция
- квадратичная и вогнутая (или выпуклая),
а все ограничения линейны.
Геометрическое программирование – раздел математического программирования, изучает определенный класс оптимизационных задач, встречающихся главным образом в инженерно-экономических расчетах. Основное требование метода состоит в том, чтобы все технические характеристики проектируемых объектов были выражены количественно в виде зависимостей от регулируемых параметров. Геометрическим такой вид программирования назван потому, что в нем эффективно используется геометрическое среднее и ряд таких геометрических понятий, как векторные пространства, векторы, ортогональность и др.
Дробно-линейное программирование (ДЛП) – математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах отношений линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. ДЛП является обобщением линейного программирования (ЛП) и, в то же время, частным случаем математического программирования. Как и в ЛП, принято разделение на общую задачу ДЛП и специальные задачи ДЛП (например, транспортная задача ДЛП, целочисленная задача ДЛП и т. д.).
Выпуклое программирование представляет собой совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми функциями – раздел нелинейного программирования (т. е. дисциплины, занимающейся решением таких задач, в которых действуют не только линейные, но и другие, более сложные зависимости). Выпуклым этот вид математического программирования называется потому, что имеет дело с выпуклыми целевыми функциями (они минимизируются) и выпуклыми системами ограничений