3. Поверхности второго порядка

3.1. Общее уравнение второго порядка

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат OXYZ. Общим уравнением второго порядка (уравнением второй степени) относительно X,Y,Z называется уравнение вида

a₁₁x² + a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+2a₁₄x+2a₂₄y+2a₃₄z+a₄₄=0, (23)

где a_ij(i,j=1,2,3,4) – некоторые фиксированные числа (коэффициенты данного уравнения). Значения коэффициентов могут быть любыми, но при условии, что , , , , , одновременно не обращаются в нуль.

Поверхность второго порядка есть геометрическое место точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению (23). В зависимости от коэффициентов в уравнении (23) поверхности второго порядка бывают вырожденными и невырожденными.

Приведем примеры вырожденных поверхностей второго порядка.

Пример 1. Пара пересекающихся плоскостей: , здесь =1, =-1, остальные коэффициенты равны нулю. Представим уравнение в виде (а) х = 0 или (б) х - 2у = 0. Уравнение х = 0 – координатная плоскость УОZ, уравнение х – 2у = 0 задает плоскость, проходящую через ось OZ. По этой оси обе плоскости пересекаются.

Пример 2. Пара параллельных плоскостей: =1, , остальные коэффициенты =0. Представим уравнение в виде или . Плоскость является координатной ZОУ, плоскость параллельна ей.

Пример 3. Единственная точка: . Уравнению удовлетворяет единственная точка – начало координат.

Пример 4. Пустое множество: . Очевидно, ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению.

В дальнейшем мы подробно рассмотрим невырожденные поверхности второго порядка, к ним относятся эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус и цилиндры. Свойства поверхностей второго порядка не зависят от выбора декартовой системы координат. Вид уравнения поверхности существенно зависит от выбора системы координат.

В левую часть уравнения (23) входит функция трех переменных

,

которая называется квадратичной формой от переменных ,,, а матрица

называется матрицей квадратичной формы. Она симметрична, т.к. совпадают коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали. Определитель этой матрицы играет важную роль при определении типа поверхности, заданной общим уравнением.

Кроме того, левая часть уравнения (23) содержит линейную функцию трех переменных

.

3.2. Канонические уравнения второго порядка

Можно выбрать такую систему координат ОХУZ, в которой уравнение поверхности имеет «наиболее простой» вид: в квадратичной форме отсутствуют члены с произведением координат, а линейная форма содержит лишь константу.

Такое уравнение поверхности второго порядка называется каноническим уравнением этой поверхности.

Перечислим канонические уравнения поверхностей, которые мы далее будем изучать. А затем, по этим уравнениям определим форму некоторых поверхностей, используя для этого так называемый «метод параллельных сечений».

Канонические уравнения поверхностей второго порядка:

- эллипсоид

- однополостный гиперболоид

- двуполостный гиперболоид

- эллиптический параболоид

- гиперболический параболоид

- конус

- эллиптический цилиндр

- гиперболический цилиндр

- параболический цилиндр

Мы уже говорили, что введением соответствующей системы координат (преобразованием исходной) общее уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду. В данном пособии мы не ставим задачи рассмотрения этих преобразований. Отметим лишь, что в некоторых случаях простым выделением полного квадрата (преобразованием параллельного сдвига) общее уравнение поверхности может быть приведено к каноническому виду.

Так, уравнение

можно упростить следующим образом:

или

.

Отсюда

.

Как и в плоском случае, преобразованием координат (параллельным сдвигом)

получим каноническое уравнение эллипсоида в системе координат

.