Приложения

В настоящей юните для начального ознакомления рассмотрены плоскость (двухмерное пространство R²) и трехмерное координатное пространство R³, а также уравнения прямых и плоскостей в этих пространствах.

В приложении мы рассмотрим некоторые обобщения введенных понятий, предоставляющие интерес, с нашей точки зрения.

1. Понятие линейного пространства

Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на число. Примеры можно найти в различных областях алгебры, геометрии и анализа, а также в прикладных задачах, например, в экономике. Природа этих объектов различна и операции сложения и умножения на число определяются по-разному, но эти операции обладают общими свойствами.

Приведем несколько примеров.

1. Введенные в нашей юните понятия двухмерных и трехмерных векторов с принятыми правилами сложения векторов и умножение вектора на число.

2. Пространство Rⁿ с покомпонентным сложением векторов и умножением на число:

y, , x=(x₁,x₂,…., x_n), y=(y₁, y₂, ….y_n), x+y=(x₁+y₁, x₂+y₂, …,x_n+y_n);

x=(x₁, x₂, …,x_n) (см. 1457.02.01)

3. Совокупность вещественных матриц одного порядка с введенными операциями сложения двух матриц и произведения матрицы на число (см. также в 1457.02.01).

4. В анализе определяются операции поточечного сложения функций f₁(t)+f₂(t ) и умножения функции f(t) на число α, α f(t). Для определенности можно рассматривать совокупность всех непрерывных функций на отрезке . Множество таких функций обозначают . Подробно можно ознакомиться и с другими примерами в юните 1457.03.01. Для изучения всех подобных примеров с единой точки зрения вводиться понятие линейного пространства.

Определение:

Множество R элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если

а) каждым двум элементам x и y поставлен в соответствие элемент z=x+y, который называют суммой элементов x и y;

б) каждому элементу x и каждому числу λ из некоторого поля ( например, вещественному λ) поставлен в соответствие элемент λ x, называемый произведением λ на x.

Введенные операции удовлетворяют аксиомам:

1⁰. x +y = y +x (коммутативность)

2⁰. (x+y) + z = x + (y+z) (ассоциативность)

3⁰. Существует нулевой элемент О такой, что x+О = О+x = x,

4⁰. Для каждого существует противоположный элемент и такой, что .

Кроме того, выполняются условия для любых чисел ;

,

для любых εR.

Легко проверить, что в приведенных выше примерах все аксиомы выполняются. Наряду с термином линейное пространство в литературе используют термины векторное пространство и аффинное пространство. Иногда термину аффинное пространство придается иной смысл.

Мы будем пользоваться термином линейное пространство.

В линейных пространствах вводятся понятия линейной зависимости, базиса и размерности (см. юниту 1457.03.01).

В наших курсах мы рассматриваем, в основном, пространства конечной размерности. Напомним, что если в линейном пространстве R выбран базис e₁, e₂, …, e_n, то любой вектор может быть однозначно разложен по этому базису:

- координаты x по базису .