3.5.4. Параболоиды

Пусть уравнение второго порядка приведено к каноническому виду , , . Поверхности, заданные этими уравнениями, называют параболоидами.

Уравнение определяет эллиптический параболоид. Исследуя форму этой поверхности методом параллельных сечений, можно убедиться, что в сечении плоскостями, параллельными координатным, получаются либо параболы, либо эллипсы (отсюда и название поверхности). Таким образом поверхность имеет вид бесконечной выпуклой чаши с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, проходящими через начало координат (рис. 13).

Рис. 13

ллиптический параболоид, полученный вращением параболы

вокруг оси Oz, имеет уравнение:

и является параболоидом вращения.

Гиперболический параболоид задается уравнением:

, , .

В сечении этого гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, получаются гиперболы и параболы (что и определяет название поверхности). Эта поверхность имеет форму седла (рис. 14). Гиперболический параболоид имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, совпадающие с координатными плоскостями y = 0 (XOZ) и x = 0 (YOZ). Начало координат – вершина параболоида является ее «седловой» точкой».

Рис. 14

3.5.5. Конус

Поверхность, которая в некоторой системе координат определяется уравнением:

называется конусом второго порядка.

Особенностью этого уравнения является то, что оно однородно, т.е. все его члены имеют одну и ту же степень (равную двум). Отсюда следует геометрическая особенность поверхности: если некоторая точка M (отличная от начала координат) лежит на этой поверхности, то все точки прямой, проходящей через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности. Тем же свойством обладают все поверхности, которые в декартовых координатах определяются однородным уравнением. Итак, поверхность, определяемая однородным уравнением, состоит из прямых, проходящих через одну точку (начало координат). Такая поверхность называется конической, или, просто конусом. Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими, точка, через которую все они проходят, называется вершиной конуса.

Форму конуса можно исследовать, как и раньше, методом параллельных сечений (15).

В случае = в уравнении конуса

Рис. 15

олучается круговой конус вращения.

3.5.6. Цилиндры второго порядка

В заключение обзора поверхностей второго порядка отметим еще случай, когда в уравнении отсутствует какая-нибудь координата. Такое уравнение определяет цилиндрическую поверхность второго порядка (или цилиндр) с образующими, параллельными той оси, координата которой в уравнении отсутствует.

Так, поверхность, заданная уравнением

является цилиндром с образующими, параллельными оси OY. Сечением цилиндра плоскостью XOZ является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 16). Заметим, что уравнение цилиндра не отличается от уравнения окружности, называемой направляющей для данного цилиндра.