- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1.1.2. Векторное произведение
- •1.1.3. Смешанное произведение
- •1.2. Плоскость в пространстве
- •1.2.2. Общее уравнение плоскости. Неполное уравнение
- •1.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.2.4. Угол между двумя плоскостями
- •1.2.5. Расстояние от точки до плоскости
- •2. Прямая в пространстве
- •2.1. Различные уравнения прямой
- •2.1.1. Прямая как пересечение двух неколлинеарных плоскостей
- •2.1.2. Угол между двумя прямыми
- •2.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.3. Типовые задачи
- •3. Поверхности второго порядка
- •3.1. Общее уравнение второго порядка
- •3.2. Канонические уравнения второго порядка
- •3.3. Линейчатые поверхности
- •3.4. Поверхности вращения
- •3.5. Основные поверхности второго порядка
- •3.5.1. Эллипсоид
- •3.5.2. Однополостный гиперболоид
- •3.5.3. Двуполостный гиперболоид
- •3.5.4. Параболоиды
- •3.5.5. Конус
- •3.5.6. Цилиндры второго порядка
- •Приложения
- •1. Понятие линейного пространства
- •2. Понятие линейного функционала
- •3. Гиперплоскость в пространстве Rn
- •4. Уравнение прямой в произвольном линейном пространстве Rn
- •Задания для самостоятельной работы
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •2. Решите самостоятельно следующие задачи: Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Тренинг умений
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1б Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания: Задание 1
- •Глоссарий
2.3. Типовые задачи
В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали , где A2+B2+C2>0:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)
Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.
Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).
Рис. 5
Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали (уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов [].
Поставленную задачу можно решить другим способом. Пусть М(x,y,z) - текущая точка на плоскости π. Тогда векторы =(x-x1,y-y1,z-z1), =(x2-x1,y2-y1,z2-z1) и =(x3-x1,y3-y1,z3-z1) лежат на плоскости π (компланарны). Условие компланарности этих векторов (равенство нулю их смешанного произведения) задает уравнение искомой плоскости π:
. (21)
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).
Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)
.
Разложив определитель по первой строке, получим
или
– уравнение искомой плоскости с .
Заметим, что векторное произведение векторов =(2,1,–2) и =(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .
Действительно,
.
Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): , если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор – направляющий вектор.
Рис. 6
Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали может служить векторное произведение векторов и :
=(A,B,C).
Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
и
т. M1 (x1,y1,z1),
т. M2 (x2,y2,z2) ,
вектор – направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).
Рис. 7
Вновь используем уравнение (*).
Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали =(A,B,C) может быть векторное произведение [,].
Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.
Решение задачи рассмотрим на примере.
Пусть и .
-
Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы , и компланарны.
Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде
,
здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, – ее направляющий вектор.
На прямой L1: М1(1,-2,5); . Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).
Рис. 8
Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения
,
т.к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).
Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.
Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).
Вектор нормали =(А,B,C)= []== – 2+16+13.
Уравнение искомой плоскости π:
– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или
2x – 16y – 13z + 31 = 0.
Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:
L:
и плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.
Решение: Возможны следующие случаи:
а) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);
б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;
в) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.
Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.
Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений
. (22)
Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.
Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)
а определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:
.
Если определитель , то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:
,
имеет место случай (б).
Если определитель , а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).
Если же все определители Δ =Δ1=Δ2=Δ3=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).
Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0), относительно плоскости
π: Ax+By+Cz+D=0
Решение. Запишем алгоритм решения задачи.
-
Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором этой прямой послужит вектор нормали
.
-
Найдём точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).
-
Точка M1 является серединой отрезка M0Q, и координаты точек M0, M1 и Q связаны формулами: x1=,y1=,z1=, откуда найдем координаты точки Q(x0,y0,z0) (рис. 9):
xQ=2x1 – x0, yQ=2y1 – y0, zQ=2z1 – z0.
Рис. 9
Аналогично решается и следующая задача.
Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно прямой
.
Решение.
-
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости (A,B,C) возьмем направляющий вектор =(l,m,n) прямой L.
π: l(x – x0) + m(y – y0) + n(z – z0)=0.
-
Найдем точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).
-
Точка M1 – середина отрезка M0Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.