Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
линейка.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
06.12.2018
Размер:
2.61 Mб
Скачать

Задание 4

Принадлежит ли точка плоскости ?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Определить, какая из точек или лежит на плоскости .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1б Задание

Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Двум координатам из трех следует придать произвольные значения; если все три коэффициента отличны от нуля, то любой паре координат можно присвоить произвольные значения.

Пусть ,

2

Подставить выбранную пару координат в уравнении плоскости.

3

Из полученного равенства найти третью координату.

Замечание: если в уравнении плоскости отсутствует какая-либо из координат, то этой координате и одной из оставшихся присваиваются произвольные значения

Точка (0,-1,-1) лежит на заданной плоскости.

Выполните самостоятельно следующие задания: Задание 1

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2

Задание

Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторы и .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Проверить, будут ли векторы , коллинеарны

Условие коллиеарности не выполнено, задача имеет единственное решение

2

Найти векторное произведение

3

Положить вектор равным

=

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки , и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3

Задание

Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Вычислить расстояние d по формуле

Точка отстоит от плоскости на расстоянии 4 ед.

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите расстояние от точки до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите расстояние от точки до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите расстояние от точки до плоскости XOZ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найти расстояние от начала координат до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . (Указание: использовать умение 3).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4а

Задание

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Вычислить координаты вектора

2

Взять направляющий вектор =

3

Написать каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , взяв любую точку из данных точек на прямой

или

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки - начало координат, .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Написать уравнение оси OY, выбрав на ней произвольные две точки.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4б

Задание

Написать параметрические уравнения прямой .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Обозначить коэффициент пропорциональности через t

; ;

2

Из полученных равенств выразить координаты x, y, z

; ;

Параметрические уравнения данной прямой

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 5

Задание

Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого одной из переменных присвоим произвольное значение, например , и решить полученную систему

Пусть , получим систему .

Т.к. , то система имеет единственное решение , . Точка лежит на прямой

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

2

Выписать координаты векторов нормали и

3

Найти векторное произведение

=

=

4

Взять направляющим вектором прямой вектор =

или, направляющий вектором может служить коллинеарный вектор

5

Выписать каноническое уравнение прямой

Замечание. В данной задаче направляющий вектор может быть получен так:

  1. Найти две различные точки и на данной прямой.

  2. = .

В рассмотренном примере: точка (0,-1,0), а при =1 получаем точку (-1,1,1), и .

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите каноническое уравнение оси ОХ (как пересечение координатных плоскостей).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Напишите каноническое уравнение прямой пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 6

Задание

Найдите точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Записать параметрические уравнения прямой

,,

2

Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости.

или

3

Из полученного уравнения найти

4

Подставить значение в параметрическое уравнение прямой и найти координаты точки пересечения

, ,

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и - ось ОХ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: - плоскость XOZ и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 7

Задание

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

В выражениях , и выделить полные квадраты и подставить их в исходное уравнение

Подставим в данное уравнение и получим или

2

Выписать преобразование коор-динат при параллельном сдвиге системы координат , ,

, ,

3

Подставить полученные выражения в уравнение поверхности и получить ее каноническое уравнение

или

4

По каноническому уравнению определить тип поверхности и ее параметры

Получили каноническое уравнение трехосного эллипсоида с центром симметрии в точке и полуосями

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 8

Задание

По каноническому уравнению цилиндра определить: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

1

Уравнение направляющей совпадает с уравнением цилиндра

- направляющая параболического цилиндра в плоскости XOZ

2

Образующие параллельны той коор-динатной оси, «название» которой в уравнении цилиндра отсутствует

В уравнении отсутствует y, значит образующая параллельна оси OY

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

3

Построить чертеж

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________