- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1.1.2. Векторное произведение
- •1.1.3. Смешанное произведение
- •1.2. Плоскость в пространстве
- •1.2.2. Общее уравнение плоскости. Неполное уравнение
- •1.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.2.4. Угол между двумя плоскостями
- •1.2.5. Расстояние от точки до плоскости
- •2. Прямая в пространстве
- •2.1. Различные уравнения прямой
- •2.1.1. Прямая как пересечение двух неколлинеарных плоскостей
- •2.1.2. Угол между двумя прямыми
- •2.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.3. Типовые задачи
- •3. Поверхности второго порядка
- •3.1. Общее уравнение второго порядка
- •3.2. Канонические уравнения второго порядка
- •3.3. Линейчатые поверхности
- •3.4. Поверхности вращения
- •3.5. Основные поверхности второго порядка
- •3.5.1. Эллипсоид
- •3.5.2. Однополостный гиперболоид
- •3.5.3. Двуполостный гиперболоид
- •3.5.4. Параболоиды
- •3.5.5. Конус
- •3.5.6. Цилиндры второго порядка
- •Приложения
- •1. Понятие линейного пространства
- •2. Понятие линейного функционала
- •3. Гиперплоскость в пространстве Rn
- •4. Уравнение прямой в произвольном линейном пространстве Rn
- •Задания для самостоятельной работы
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •2. Решите самостоятельно следующие задачи: Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Тренинг умений
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1б Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания: Задание 1
- •Глоссарий
Задание 4
Принадлежит ли точка плоскости ?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Определить, какая из точек или лежит на плоскости .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1б Задание
Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Двум координатам из трех следует придать произвольные значения; если все три коэффициента отличны от нуля, то любой паре координат можно присвоить произвольные значения. |
Пусть ,
|
2 |
Подставить выбранную пару координат в уравнении плоскости. |
|
3 |
Из полученного равенства найти третью координату. Замечание: если в уравнении плоскости отсутствует какая-либо из координат, то этой координате и одной из оставшихся присваиваются произвольные значения |
Точка (0,-1,-1) лежит на заданной плоскости. |
Выполните самостоятельно следующие задания: Задание 1
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2
Задание
Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторы и .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Проверить, будут ли векторы , коллинеарны |
Условие коллиеарности не выполнено, задача имеет единственное решение |
2 |
Найти векторное произведение |
|
3 |
Положить вектор равным |
= |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки , и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3
Задание
Найти расстояние от точки до плоскости .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Вычислить расстояние d по формуле |
Точка отстоит от плоскости на расстоянии 4 ед. |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Найдите расстояние от точки до плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите расстояние от точки до плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите расстояние от точки до плоскости XOZ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найти расстояние от начала координат до плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . (Указание: использовать умение 3).
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4а
Задание
Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Вычислить координаты вектора |
|
2 |
Взять направляющий вектор = |
|
3 |
Написать каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , взяв любую точку из данных точек на прямой |
или |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки - начало координат, .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Написать уравнение оси OY, выбрав на ней произвольные две точки.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4б
Задание
Написать параметрические уравнения прямой .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Обозначить коэффициент пропорциональности через t |
; ; |
2 |
Из полученных равенств выразить координаты x, y, z |
; ; Параметрические уравнения данной прямой |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 5
Задание
Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого одной из переменных присвоим произвольное значение, например , и решить полученную систему |
Пусть , получим систему . Т.к. , то система имеет единственное решение , . Точка лежит на прямой |
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
|
2 |
Выписать координаты векторов нормали и |
||
3 |
Найти векторное произведение |
= = |
|
4 |
Взять направляющим вектором прямой вектор = |
или, направляющий вектором может служить коллинеарный вектор |
|
5 |
Выписать каноническое уравнение прямой |
Замечание. В данной задаче направляющий вектор может быть получен так:
-
Найти две различные точки и на данной прямой.
-
= .
В рассмотренном примере: точка (0,-1,0), а при =1 получаем точку (-1,1,1), и .
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Напишите каноническое уравнение прямой .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Напишите каноническое уравнение прямой .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Напишите каноническое уравнение прямой .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Напишите каноническое уравнение оси ОХ (как пересечение координатных плоскостей).
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Напишите каноническое уравнение прямой пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 6
Задание
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Записать параметрические уравнения прямой |
,, |
2 |
Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости. |
или |
3 |
Из полученного уравнения найти |
|
4 |
Подставить значение в параметрическое уравнение прямой и найти координаты точки пересечения |
, , |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и - ось ОХ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: - плоскость XOZ и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 7
Задание
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
В выражениях , и выделить полные квадраты и подставить их в исходное уравнение |
Подставим в данное уравнение и получим или |
2 |
Выписать преобразование коор-динат при параллельном сдвиге системы координат , , |
, , |
3 |
Подставить полученные выражения в уравнение поверхности и получить ее каноническое уравнение |
или |
4 |
По каноническому уравнению определить тип поверхности и ее параметры |
Получили каноническое уравнение трехосного эллипсоида с центром симметрии в точке и полуосями |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 8
Задание
По каноническому уравнению цилиндра определить: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Уравнение направляющей совпадает с уравнением цилиндра |
- направляющая параболического цилиндра в плоскости XOZ |
2 |
Образующие параллельны той коор-динатной оси, «название» которой в уравнении цилиндра отсутствует |
В уравнении отсутствует y, значит образующая параллельна оси OY |
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
3 |
Построить чертеж |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________