1.3.3. Частотные характеристики

Если на вход звена или линейной системы, состоящей из ряда последовательно соединенных звеньев, в разомкнутом состоянии подать гармоническое воздействие постоянной амплитуды X_mи частоты, то после затухания переходного процесса на выходе установится гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с амплитудой Y_mи с отставанием по фазе на угол(рис.1.3.3).

Рис.1.3.3. Гармоническое воздействие на САУ

Частотные характеристики звена (системы) показывают, как изменяются амплитуда и фаза выходного сигнала при прохождении через САУ или звено.

К комплексной частотной характеристике, дающей представление о динамических свойствах звена, можно перейти от передаточной функции путем замены оператора Р в операторных полиномах ее числителя С(Р) и знаменателя В(Р) на мнимое число j(оператор Фурье):

, (1.3.16)

где e^jt= Cost+jSint - единичный вектор гармонического колебания (рис.1.3.4).

Рис.1.3.4. Гармонические колебания

Частотная характеристика звена или системы является комплексным выражением, содержащим модуль и аргумент:

W(j)=A()e^j(), A()=W(j)и()=argW(j). (1.3.17)

При изменении частоты от 0 до модуль комплексного выражения изменяется и определяет амплитудно-частотную характеристику A(), а зависимость аргумента от частоты определяет фазочастотную характеристику().

Для записи частотной функции используют обычно три формы: алгебраическую (1.3.16), показательную (1.3.17) и тригонометрическую.

Так как в комплексном выражении можно выделить вещественную и мнимую составляющие

W(j) = U()+jV(), (1.3.18)

где U() - вещественная (активная) составляющая; V() - мнимая (реактивная) составляющая,

то представляет интерес вещественная частотная характеристика (ВЧХ)

U() = A()Cos() (1.3.19)

и мнимая частотная характеристика (МЧХ)

V() = A()Sin(), (1.3.20)

где ;.

При совмещении на одном графике вещественной частотной характеристики и мнимой частотной получаем амплитудно-фазовую характеристику АФХ (рис.1.3.5).

Рис.1.3.5. Частотные характеристики: а - амплитудно-фазовая частотная (АФЧХ); б - амплитудно-частотная (АЧХ); в - фазо-частотная (ФЧХ)

1.3.4. Логарифмические частотные характеристики

Так как при построении АФЧХ, АЧХ и ФЧХ частота и амплитуда изменяются в очень больших пределах, то с использованием процедуры логарифмирования можно значительно уменьшить изображения этих характеристик.

При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают величину

20lgA() = 20lgW(j)= L(), (1.3.21)

единицей измерения для которой является децибел.

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (рис.1.3.6).

Равномерной единицей на оси абсцисс является декада - любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза _c.

Начало координат помещают в точке , так как lg1=0. При L=0 A=1, т.е. система пропускает сигнал в натуральную величину. При L>0 происходит усиление, а при L<0 - ослабление амплитуды.

Рис.1.3.6. Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики