1.2.5. Передаточная функция звена

Структура системы, статические и динамические параметры входящих элементов полностью определяют ее свойства по отношению к входному воздействию. Если известны входные и выходные величины, может быть найдена и функция преобразования или передаточная функция.

Передаточной функцией системы или звена (элемента) называют отношение изображения Лапласа для выходной и входной величин при их начальных нулевых условиях и при отсутствии других воздействий. Она полностью определяет динамические свойства звена и системы и представляет собой комплексное выражение

W(P)=Y(P)/X(P). (1.2.17)

Передаточная функция легко может быть найдена, если известно дифференциальное уравнение.

Составим передаточную функцию для простейшего элемента САР-обмотки возбуждения генератора с коэффициентом самоиндукции L и активным сопротивлением R (рис.1.2.2)

Рис.1.2.2. Схема обмотки возбуждения двигателя

При подаче на обмотку скачка напряжения U сила тока в ней нарастает в соответствии с дифференциальным уравнением

. (1.2.18)

В операторной форме это уравнение будет выглядеть как

(TP+1)i=KU, (1.2.19)

где .

Отсюда

. (1.2.20)

1.3. Характеристики систем автоматического регулирования

1.3.1. Типовые воздействия

Наиболее естественным состоянием системы регулирования является неустановившийся динамический режим, т.е. режим перехода от одного состояния к другому. Входные воздействия в реальных условиях работы системы могут быть самыми разнообразными.

Можно выделить три вида типовых воздействий на САР и ее элементы:

1. Гармонические колебания.

2. Единичный скачок.

3. Единичный импульс.

При действии на входе звена синусоидального воздействия

X(t) = X_mSintX_me^j^t(1.3.1)

на выходе линейной системы получаем также синусоидальные колебания

Y(t) = Y_mSin(t+)Y_me^j(t+), (1.3.2)

где X_mи Y_m- амплитуды входных и выходных сигналов;= 2f - круговая частота колебаний; f - частота колебаний;- фаза колебаний.

Единичным скачком называют входное воздействие

X(t) = A1(t). (1.3.3)

При нормировании получаем единичное воздействие (рис.1.3.1)

X₁(t) = 1(t), (1.3.4)

где X₁(t) =0 при t0 и X₁(t) =1 при t>0.

Реакцию на единичное ступенчатое воздействие называют переходной функцией:

Y(t) = F₁[1(t)]. (1.3.5)

Рис.1.3.1. Типовые воздействия на САУ: а - единичный скачок; б - единичный импульс

Единичное импульсное (ударное) воздействие или дельта-функция является производной от единичной ступенчатой функции и представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности в момент t=0, т.е. (рис.1.3.1,б)

X₂(t)=(t)=1'(t), (1.3.6)

где X₂(t) = 0 при t0; X₂(t) =при t=0.

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что она имеет единичную площадь

. (1.3.7)

Единичную импульсную функцию можно представить как сумму действующих на вход звена со смещением во времени на двух ступенчатых воздействий функций A1(t) и A1(t-), у которых амплитуда увеличивается доодновременно с уменьшениемдо 0 при сохранении

A=1. (1.3.8)

Реакцию звена или системы на единичное импульсное воздействие называют функцией веса

(t) = F₂((t)). (1.3.9)

1.3.2. Переходная характеристика

Переходной характеристикой h(t) называется временной сигнал на выходе звена (системы) при подаче на его вход сигнала в виде единичного скачка X₁(t)=1(t) (рис.1.3.2).

По Лапласу (1.2.12)

. (1.3.10)

Рис.1.3.2. Переходная характеристика звена САУ

Так как Y(P)=W(P)X(P), то

. (1.3.11)

Найдем оригинал h(t) по Лапласу

, (1.3.12)

где ^-1- знак преобразования из изображения по Лапласу к оригиналу.

По Карсону (1.2.14) имеет в общем виде

Kf(t) = Pf(t).

Тогда

, (1.3.13)

а нахождение оригинала h(t) по Карсону

, (1.3.14)

где K^-1- знак преобразования из изображения по Карсону к оригиналу.

Весовая (импульсная) характеристика будет связана с переходной соотношением

. (1.3.15)