1.6.5. Критерий устойчивости Михайлова

Применение критерия устойчивости Гурвица для систем с характеристическим уравнением выше 4-го порядка затруднено.

Частотный критерий устойчивости А.М.Михайлова позволяет судить об устойчивости систем любого порядка по виду ее характеристического вектора (годографа) на комплексной плоскости. Годограф Михайлова получают подстановкой P=jв характеристический полином характеристического уравнения и построением кривой в координатах U() и jV() при измененииот 0 до

D(j)=U()+jV()=a₀(j)ⁿ + a₁(j)^n-1+...+ a_n-1(j)+a_n . (1.6.18)

Определение критерия Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы ее характеристический вектор при изменении частоты от 0 доповернулся против часовой стрелки, начиная с положительной вещественной оси и проходя последовательно такое количество квадрантов на координатной плоскости, которое равно порядку характеристического уравнения, т.е. угол поворота должен быть n/2.

На рис.1.6.4,а показаны кривые устойчивых систем, а на рис.1.6.4,б - неустойчивых систем.

Рис.1.6.4. Кривые Михайлова: а - устойчивые системы; б - неустойчивые системы

Пример. Оценим устойчивость системы третьего порядка с передаточной функцией (1.5.5) и характеристическим уравнением (1.6.15)

D(j)=(К-(T₁+T₂)²)+j((1-T₁T₂²)). (1.6.19)

Построим кривую Михайлова (рис.1.6.5).

рис.1.6.5. Кривые Михайлова системы третьего порядка

При V=0 получим 1-T₁T₂²=0

или . (1.6.20)

При U=0 получим К-(T₁+T₂)²=0 (1.6.21)

или. (1.6.22)

Отсюда , что аналогично и критерию Гурвица (1.6.17).

Другая форма критерия Михайлова состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов U() и V(), т.е. корни U()=0 и V()=0 должны поочередно следовать друг за другом. На рис. 1.6.5₀=0;₁>₂или из (1.6.20) и (1.6.21) имеем:

.

1.6.6. Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи системы частотного управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

По критерию Михайлова изменение аргумента должно быть равно n/2. Но если цепь замкнуть, то на выходе и входе должны быть одинаковые аргументы, т.е.argФ(j)=0. Это значит, что амплитудно-фазовая характеристика Ф(j) не должна охватывать начало координат (рис.1.6.6,а). Если рассмат­ривать разомкнутую систему преобразованием из замкнутой, то

W(j)=Ф(j)-1. (1.6.23)

Отсюда получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой цепи (рис.1.6.6,б).

Рис.1.6.6. Годографы Найквиста для замкнутой (а), разомкнутой (б) устойчивой САУ и неустойчивой САУ (в)

Определение критерия Найквиста

Замкнутая система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает на вещественной оси точку с координатой - 1.

Для примера САУ (рис.1.6.3) годограф Найквиста указывает область устойчивости САУ (рис.1.6.7).

Рис.1.6.7. Область устойчивости САУ

1.7. Качество работы сау

Качество системы имеет смысл выяснять только после установления, что она устойчива. Наглядно представление о динамических свойствах САУ, ее качестве дает переходная функция. Качество системы характеризуется следующим: как быстро система реагирует на возмущения и как сильно их подавляет, каким путем она приходит в установившееся состояние и насколько точно воспроизводятся системой полезные сигналы после того, как установившееся состояние достигнуто.

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходных процессах отработки заданного воздействия объединяется понятием качества процесса управления (качества системы).

К основным показателям качества САУ относятся:

- быстродействие, t_пп;

- перерегулирование ;

- колебательность М;

- статическая и динамическая точность;

- добротность системы.

Быстродействие характеризуется (рис.1.7.1):

Рис.1.7.1. Типовые переходные функции САУ и показатели качества: а - управляющее воздействие; б - возмущающее воздействие; I - монотонные; 2 - апериодические; 3 - колебательные

а) общим временем переходного процесса t_пп, за которое выходная величина h(t) войдет в 5% зону. Современные САУ требуют t_пп0,04-0,1;

б) временем первого согласования (регулирования) t_pза которое h(t) первый раз достигнет предполагаемого установившегося состояния;

в) временем первого максимума t_м;

г) временем затухания первого перерегулирования t_М.

Перерегулирование % определяется максимальным отклонением выходной величины (перерегулированиеh₁), отнесенным к ее заданному установившемуся значению.

Считается нормальным , допускается до 50%, но в ряде случаев требуется5%.

Колебательностьхарактеризуется 4-мя показателями:

1. Показатель колебательности М, представляющий собой резонансное значение амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы в относительных единицах

M=f() или.

В хорошо сдемпфированных системах с перерегулированием не более 20-30% показатель М=1,1...1,3. Допускается до 1,6...1,8 при норме 1,3...1,5.

2. Числом колебаний n в одну сторону за время t_пп. Чаще всего допускают n=1...2, а иногда 3...4.

3. Декрементом затухания , равным отношению модулей двух сменных перегулирований

=h_м1/h_м2.

4. Угловой частотой колебаний _к=2/T_к .

Добротностьсистемы, где W_(P)=D₀+D_скP+D_ускP²; W_(P)=определяется по ЛАЧХ, продлив низкочастотную асимптоту, идущую с наклоном 20 дБ/дек, до пересечения с осью частот. Получим добротность системы по скорости. До пересечения с осью частот продлим низкочастотную асимптоту, идущую с наклоном 40 дБ/дек, и получим добротность по ускорению.

По среднечастотному участку ЛАЧХ определяют приблизительные показатели качества САУ.

Точность САУ и астатизм

Точность воспроизведения управляющих воздействий - одно из важнейших требований, предъявляемых к системам автоматического управления. Так как в реальных условиях действующие на систему управляющие (входные) и возмущающие воздействия носят случайный характер, приходится рассматривать ее свойства при действии различных типовых воздействий.

Оценку САУ проводят обычно для четырех наиболее часто применяемых режимов: неподвижное состояние, движение с постоянной скоростью, движение с постоянным ускорением, движение по гармоническому (синусоидальному) закону.

При постоянных управляющих X(t)=X₀=Const и возмущающих F(t)=F₀=Const воздействиях устанавливают статическую ошибку, которую определяют соответствующими передаточными функциями системы

₀=_x0+_F0=. (1.7.1)

С учетом W(0)=K и W_F(0)=K_F- коэффициентов передачи разомкнутой системы получим

. (1.7.2)

Статическая ошибка в астатических системах теоретически отсутствует, а практически имеется из-за недостаточной чувствительности. Также отсутствует теоретическая ошибка по скорости из-за _ск=0.

В статических системах ошибка складывается из статической ошибки ₀и скоростной_ск:

_уст.ск.=₀+_ск.=₀+v₀/K_ск.(1.7.3)

Астатизм (ошибка по ускорению) систем 2-го порядка оценивается

_уск=v/K_уск.

Ошибки системы по ускорению, если задано его значение, легко определить по логарифмической амплитудно-частотной характеристике, продолжив ее вторую асимптоту до пересечения с осью частот, найдя ₀, а затем и K_уск=.

Пример. Для заданных воздействий: скоростное v=20мм/с, постоянное ускорение =3мм/c²,гармоническое с амплитудой X_max=4мм и период T_n=8c, определим ошибки астатической системы автоматической ориентации сварочного электрода.

,

где K=6,6, T₁=0,12 с; T₂=0,05 с.

Чувствительность двигателя U_тр=6B (напряжение трогания). Находим статическую ошибку, исходя из параметров системы:

₀=U_тр/K=6/6,6=0,9мм.

Скоростная ошибка

_ск=v/K₀=20/6,6=3мм.

Для определения ошибки при воспроизведении гармонического воздействия сначала находим его частоту _n=2/T_п=0,8c^-1, затем модуль частотной функции L'() на этой частоте по ЛАЧХ (рис.1.5.5) A(_n)=6,3.

_maxуст=X_max(_n)=4/6,3=0,6мм.

Таким образом, исследованная на точность система, содержащая только функционально необходимые элементы, характеризуется очень малой точностью при всех видах воздействий и нуждается в совершенствовании с помощью коррекции.