-
Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
-
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
-
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a, b].
Несобственные интегралы I рода
Пусть f(x)
определена и непрерывна на множестве
от
и
.
Тогда:
-
Если
,
то используется обозначение
и
интеграл называется несобственным
интегралом Римана первого рода.
В этом случае
называется
сходящимся. -
Если не существует конечного
(
или
),
то интеграл
называется
расходящимся к
,
или просто расходящимся.
Пусть f(x)
определена и непрерывна на множестве
от
и
.
Тогда:
-
Если
,
то используется обозначение
и
интеграл называется несобственным
интегралом Римана первого рода.
В этом случае
называется
сходящимся. -
Если не существует конечного
(
или
),
то интеграл
называется
расходящимся к
,
или просто расходящимся.
Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
,
где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Примеры
Несобственные интегралы II рода
Пусть f(x)
определена на (a,b],
терпит бесконечный разрыв в точке x=a и
.
Тогда:
-
Если
,
то используется обозначение
и
интеграл называется несобственным
интегралом Римана второго рода.
В этом случае интеграл называется
сходящимся. -
Если
или
,
то обозначение сохраняется, а
называется
расходящимся к
,
или просто расходящимся.
Пусть f(x)
определена на [a,b)
, терпит бесконечный разрыв при x=b и
.
Тогда:
-
Если
,
то используется обозначение
и
интеграл называется несобственным
интегралом Римана второго рода.
В этом случае интеграл называется
сходящимся. -
Если
или
,
то обозначение сохраняется, а
называется
расходящимся к
,
или просто расходящимся.
Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
Пример
-
Геометрические приложения определенного интеграла:
а) вычисление площадей плоских фигур при различных способах задания уравнений ограничивающих линий;
Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
неотрицательной функцией f ( x ), осью
абсцисс и прямыми x = a , x =
b , определяется как
Модель 3.11. Площадь криволинейной трапеции.
Площадь
фигуры, ограниченной функцией f ( x
), пересекающей ось абсцисс, определяется
формулой
где
x i –
нули функции. Другими словами, чтобы
вычислить площадь этой фигуры, нужно
разбить отрезок [ a ; b ] нулями функции
f ( x ) на части, проинтегрировать
функцию f по каждому из получившихся
промежутков знакопостоянства, сложить
отдельно интегралы по отрезкам, на
которых функция f принимает разные
знаки, и вычесть из первого второе.
б) вычисление длин дуг линий при различных способах задания уравнений линий;
Пусть
задана кривая
Тогда
длина ее участка, ограниченного значениями
t = α и t = β выражается формулой
Рисунок
3.4.4.3. В частности, длина плоской кривой,
задаваемой на координатной плоскости
OXY уравнением y = f ( x ), a ≤
x ≤ b , выражается формулой
5. Площадь поверхности вращения.
Модель 3.13. Площадь поверхности вращения.
Пусть
поверхность задается вращением
относительно оси OX графика функции y
= f ( x ), a ≤ x ≤ b ,
и функция f имеет непрерывную производную
на этом отрезке. Тогда площадь поверхности
вращения определяется формулой
в) вычисление объемов и площади поверхности тел вращения.
3. Объем тела вращения.
Модель 3.12. Объем тела вращения.
Пусть
тело образовано вращением вокруг оси
OX криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной на отрезке [ a ; b ] функцией
f ( x ). Его объем выражается формулой
Рисунок
3.4.4.2.
Пусть
тело заключено между плоскостями x =
a и x = b , а площадь его сечения
плоскостью, проходящей через точку x ,
– непрерывная на отрезке [ a ; b ]
функция σ ( x ). Тогда его объем равен
