- •I. Введение в анализ.
- •Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •Теорема о связи функции с её пределом в точке
- •Алгебраические свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- •Сравнение функций.
- •8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- •9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •Односторонний предел по Гейне
- •11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- •Правила дифференцирования функций
- •Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- •Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- •Разложение основных функций по формуле Тейлора
- •Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- •Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- •Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- •Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- •Полное исследование функции и построение графика функции
- •III. Неопределенный интеграл.
- •Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- •30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- •Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- •Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- •Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- •1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- •37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- •IV. Определенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- •Геометрические приложения определенного интеграла:
- •43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- •V. Функции многих переменных.
- •44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- •2. Предел функции.
- •Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- •Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора для функции двух переменных
- •Различные формы остаточного члена
- •Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- •Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области
Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
Ослабим предположения:
-
Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
-
И n производную в самой точке a, тогда:
— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме
-
Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
Если - точка экстремума функции f, то
и или
Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции
Обозначим
Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.
Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.
Если D < 0, экстемума в точке нет.
Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.
Функции n переменных
Приращение функции в точке
Функция, дифференцируемая в точке
при
В этом случае дифференциал функции f в точке :
- частные производные первого порядка функции f.
-
Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области
Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.
Пример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).
Решение: Здесь z'x=2ху+у2+у, z'y=х2+2ху+х.
-
Находим все критические точки:
Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
-
Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 212). На участке АВ: Значения функции z(-1) = -1, На участке ВС: Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5. На участке СЕ: z'y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2. Значения функции На участке АЕ: Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5.
-
Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2;1/2) =z(С); а m=-4,5=z(2;-3/2)=z(E).