Методы математической физики

Лектор – д.т.н., профессор кафедры ПП и МЭ

Краснопевцев Евгений Александрович

Основная тема дисциплины

Ортонормированные базисы функций

Идея и практическая значимость

Функции, описывающие физическую систему, разлагаем по ортонормированному базису, то есть по множеству взаимно перпендикулярных функций единичной величины. В результате упрощается решение физических и технических задач, результаты получают наглядный физический смысл.

Разделы дисциплины

1. Преобразование Фурье – разложение по базису гармонических функций.

2. Сингулярные функции:

дельта-функция,

гребенчатая функция,

функция Хевисайда,

функция знака,

прямоугольная функция,

функция sinc,

треугольная функция.

3. Гамма- и бета-функции Эйлера.

4. Дифференциальные уравнения второго порядка, решениями которых являются базисы функций.

5. Базисы, образованные классическими ортогональными полиномами:

Эрмита,

Лагерра,

Лежандра,

Чебышева.

6. Сферические функции.

7. Функции Бесселя.

8. Функция Грина.

9. Дифференциальные уравнения с частными производными.

Материал дисциплины применяется в курсах:

Специальные главы физики,

Квантовая механика,

Физика конденсированного состояния,

и в других теоретических дисциплинах.

Контрольные мероприятия

Индивидуальные задания 1, 2, 3 (4-ая, 9-ая, 14-ая недели).

Коллоквиум по теории в конце семестра.

Экзамен для группы РНТ1; дифф. зачет для групп РМС7, РЭН2, РП4.

Вопросы коллоквиума

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, график, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов  и . Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x  0 и x  . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

Рейтинговая аттестация по дисциплине с экзаменом

Группа РНТ1

Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.

№	Вид деятельности	Число баллов
1. 2. 3. 4. 5.	Активность на занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели) Посещаемость лекций Индивидуальное задание 1 Индивидуальное задание 2 Индивидуальное задание 3	(0–2) + (0–2) + (0–2)= 0–6 0–6 5–10 5–10 5–10
6.	Коллоквиум	Всего не более 40 20
7.	Экзамен	Всего не более 60 0–40

Всего не более 100

Рейтинговая аттестация по дисциплине с зачетом

Группы РЭН2, РМС7, РП4

№	Вид деятельности	Число баллов
1. 2. 3. 4. 5. 6.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели) Посещаемость лекций Индивидуальное задание 1 Индивидуальное задание 2 Индивидуальное задание 3 Коллоквиум	(0–7) + (0–7) + (0–7)= 0–21 0–15 5–15 5–15 5–15 20

Всего не более 100