1. ДИ: задача, приводящая к понятию ДИ; определение ДИ; классы интегрируемых функций; свойства ДИ; вычисление ДИ для прямоугольной области(вывод); для произвольной области(вывод); изменение порядка интегрирования ДИ

Задача, приводящая к ДИ – вычисление объема тела, ограниченного непрерывной ф-й z= f(x, y).

Пусть: 1) в ограниченной замкнутой области D с площадью s задана ограниченная функция f(x, y); 2) разбиение области на подобласти Dk с площадями ΔDk и диаметрами dk, – диаметр разбиения и ; 3) зафиксируем точки Mk 4) построим интегральную сумму I(d_k,M_k)= . О п р е д е л е н и е . Конечный предел I интегральной суммы I_n при , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Mk, называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается: I_n=

Классы интегрируемых по Риману ф-й:1)непрер-е на D; 2)кусочно-непрер-е, с конечным числом линий и точек разрыва на D (1-го рода)

Свойства ДИ: 1)

2. 

3. 

4. Если m , то ms s – пл-дь D (теорема об оценке)

5. m ,

, – ср.точка. (теорема о среднем)

6. Если f(x,y) 0 то

7. Если f(x,y) g(x,y) , то

8. Если

Вычисление ДИ для прям-ой области:

Теорема: Пусть задана П= , и 1) ; 2) , тогда

Д ок-во: y_m=d

y ₀=c

X₀=a x_n=b

(А) ;

(В) ;

Рассмотрим:

– условие существования ДИ

ДИ по произвольной области(ДСК)

Т. Пусть задана область,прав-я в направлении ОУ: 1) ; 2) , Тогда:

Д-во: заключим D в прямоугольник. Введем

(С)

(D)

3 Вопрос.

П-Тройной Интеграл

Пусть f(x,y,z) определена в VCR²

1. V={V₁,V₂ ,…,V_n} d-диаметр V_i ; V_i-объём Vi

2. Mi(ƺ,η,ӡ)ϵV_n

3. F(M_i)∆ѵ=

d=наиб{d}

П- Свойства тройного интеграла

Все свойства совпадают со свойствами двойного интеграла

П-Вычисление

а) повторный интеграл

б) Теорема. Если f(x,y,z) интегрируема по Риману в области V Ǝ повторный интеграл (3),то

V-правильная в направлении Oz

Замечание: если V-правильная в направлении Оx, то

4. Замена переменной в ти (геометрический вывод для общего случая); переход в ти к цилиндрическим и сферическим координатам.

а) переход к цилиндрическим координатам

M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z) (2)

(x,y,z)↔( ρ, φ,z)

x= ρcos(φ)

(1) (1’)

(2)

это знак якобиана если что;)

dV=dxdydz= dρdφdz (3)

(4)

б) Переход к сферическим координатам

ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке

r-радиус-вектор точки M

Пусть -новые координаты, тогда:

(5) (5’)

dxdydz=

6.криволинейные интегралы:1)пусть переменная t с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [ R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве ,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время ,то (3)-уравнение траектории движения.3)если предшествует точке M( , т.е. M[x( y( ,z( ] предшествует M[x( y( ,z( ]. Г: t) .если .если M( t x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.

7.Криволинейные интегралы 2 рода

Определение: Конечный предел интегральной суммы I_n при λ→∞ ,не зависящий от точек M_i ,называется криволинейным интегралом

второго рода от функций P,Q,R по пути L:

I_n=

Определение (еще одно хз какое лучше): Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы: , , ,то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают: = + + (1)

Свойства КИ-2:

1) Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (1) существует

2) При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: = -

Про работу: Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода:

A= , где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение * означает скалярное произведение векторов и .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую L

Вычисление КИ-2 : Если линия AB задана в параметрической форме:x=x(t), y=y(t), z=z(t), t₁≤t≤t₂, где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции , и при изменении параметра t от t₁ к t₂ кривая описывается именно от точки A к точке B, то

=

Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл