Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матан1-2(диффуры)

.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
1.18 Mб
Скачать

Обыкновенное дифференциальное уравнение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимое уравнение неизвестной функции и её производную.

, где – порядок старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Общее решение – это решение, зависящее от произвольных констант или совокупности всех частных решений.

Частное решение – это уравнение при фиксированном значении произвольных констант.

Общий интеграл дифференциального уравнения:

– дифференциальное уравнение в дифференциалах.

или

– общий интеграл.

Задача Коши.

Начальные условия: и

Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.

Дифференциальные уравнения 1 – го порядка.

– уравнение разрешенное относительно производной.

Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевского).

Пусть непрерывна в открытой области Д и .

Открытая область – это область без своей границы.

– существует и непрерывна в Д, гладкая по .

Пусть

Тогда имеется решение такое, что , и это решение единственное.

Идея доказательства:

УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).

- УРП, если .

- разделение переменных

- общее решение данного дифференциального.

Пример:

Однородное уравнение 1-ого порядка.

- называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

- однородная функция n-ого измерения если

(0-е измерение)

(2-ого порядка)

(неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

- уравнение с разделяющимися переменными

Пример:

Линейные уравнение 1-ого порядка.

Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где и - произвольные функции от .

- линейное уравнение без правой част.

Два метода решения линейных уравнений:

  1. Метод Бернулли

  2. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

  1. Метод Бернулли:

Выберем так, чтобы .

  1. Метод Лагранжа:

- уравнение без правой части.

(2)

- удовлетворяет уравнению (2).

Пример:

1)

2)

Уравнение Бернулли.

,

-линейное уравнение 1-ого порядка относительно z

Пример:

Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть ,

-необходимое и достаточное условие, того что 0 - является полным дифференциалом некоторой функции.

Пример:

Общее решение(общий интеграл).

Дифференциальные уравнения высших порядков.

(3) -уравнение разрешенное относительно сторонней производной.

Т. О единственности.

Если - непрерывна и -существуют и непрерывны в области , то решение уравнения (3) удовлетворяющие начальным условия:

.

.

.

n) , существует и единственно.

Уравнения допускающие понижение порядков.

  1. Отсутствует и .

  1. Отсутствует .

Пример:

3) Отсутствует x.

Пример:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Линейное дифференциальное уравнения высших порядков.

(**)

(*) - однородный случай.

(*)

Свойство решений уравнения (*).

  1. Линейное комбинация решений, тоже решение.

Пусть и - решения уравнения (*), тогда - их линейная комбинация, тоже решение уравнения (*).

Доказательство:

---------------

Каждая скобка равна 0, потому что и , решения уравнения (*).

и - называются линейно зависимыми, если , где -

константа.

и линейно не зависимые, если отношение этих функций .

- определитель Вронского (вронскиан).

Если функция линейно зависима, то определитель Вронского равен 0.

Если и линейно зависимы, то определитель Вронского равен 0.

  1. Если определитель Вронского для двух решений уравнения (*),

не равен 0 в какой-либо точке, то он неравен нулю везде.

и - решения.

- для все .

Доказательство:

Умножим на и соответственно и произведем вычитание уравнений.

- Формула определителя Вронского.

  • Формула Лиувиля.

3)Если решения уравнения (*) линейно независимы, то определитель Вронского в этих решениях не равен 0.

Т. О структуре общего решения линейного, дифференциального уравнения (*).

Если и - линейно независимые решения (*), то общее решение уравнения , где и - произвольные постоянные.

Доказательство:

  1. Из свойства 1) – y – решение (*).

  2. Докажем, что для любого начального условия можно найти и , так чтобы y удовлетворяла этому начальному условию.

Пусть - произвольное начальное условие.

, по свойству 3)

Следовательно, система имеет единственное решение .

Рассмотрим уравнение (**).

Теорема. О структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (**).

Пусть и - линейно независимые решения соответствующего уравнения (*), тогда , где - общее решение соответствующего однородного уравнения (*), а - какое-либо частное решение уравнение (**).

-(**)

-(*)

  1. Докажем, что это решение

  1. Докажем, что это общее решение.

Пусть - произвольное начальное условие.

Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка

с постоянными коэффициентами.

(****), и - константы – неоднородное или с правой частью.

(***) - однородное или без правой части.

- общее решение уравнения (****), где - общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и - произвольные постоянные, а и - линейно независимые решения (***).

- какое-либо частное решение уравнение (****).

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Будем искать и в виде .

Подставим в уравнение (***).

- характеристическое уравнение для уравнения (***).

Случай 1)

и - действительные различные корни.

Случай 2)

, где - корень уравнения кратности 2.

Подставим в уравнение (***).

, так как - это корень.

Случай 3) , где -мнимая единица .

Подставим в уравнение (***).

- линейно независимые, следовательно:

Пример:

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.

- ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.

а)

,где А - неопределенный коэффициент.

Пример:

б)

Общий случай

- характеристическое уравнение.

а) Если не корень характеристического уравнения:

б) Если корень характеристического уравнения кратности

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]