#1 Предел последовательности

Число а наз. пределом послед. {x_n}, если для >0  N_ такой, что при всех n>N_ выполнено нер-во |x_n-а|<.

Подпоследовательностью x_n назыв. числовая последовательность, которая составлена из членов последовательности x_n и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности x_n.

Послед. наз. сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся­­ – если не имеет.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел.

#2 Критерий Коши. Для того чтобы пос-ть

{x_n}nN имела предел, необходимо и

достаточно, чтобы для любого >0 существовал

номер N() такой, что при n,m>N() выполняется

неравенство |x_n - x _m| < 

Теорема о пределе промеж. послед.

Если lim_nx_n=a, lim_nz_n=a и справедливо нер-во x_n<=y_n<=z_n, то lim_ny_n=a.Д-во: дост. док-ть, что послед. {y_n-a} явл. б.м. Обозначим через N номер, начиная с которого, вып. нер-ва из условия. Тогда начиная с этого номера, будут выполняться также нер-ва x_n-a<=y_n-a<=z_n-a. Отсюда следует, что при n>N эл-ты послед. {y_n-a} удовл. нер-ву: |y_n-a| <= max{ |x_n-a| , |z_n-a| }

Св-ва сходящихся посл-тей

1. Теорема «Об единственности пределов»:

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {xn}. xn=a+an и xn=b+bn, где {an} и {bn} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an−bn=b−a . Последовательность {an−bn}  является бесконечно малой, а в силу равенства an−bn=b−a  все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числуb−a . Число b−a  равно нулю, т. е. b=a.

2. Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣xn−a∣<ε  при n≥N  или, a−ε<xn<a+ε при n≥N Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣ ∣  x1∣ ∣  ,∣ ∣  x2∣ ∣  ,...,∣ ∣  хN−1∣ ∣   .Тогда, очевидно, ∣xn∣≤A  для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {xn}.

3. Теорема «Об арифметических действиях»:

а) предел lim(n)(xnyn)=ab

б) предел lim(n)(xnyn)=ab

в) предел lim(n)(xn/yn)=a/b, b0

4. Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся,

т.е. имеет пределы.

#3 Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности   такой, что   сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу A.

Т-ма о пределе промеж. ф-ции

 Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если то Доказательство: Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ₁ и δ₂ точки х_о, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.

 -ε<φ(х)-А<ε,                                 (17.8)

а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.

-ε<g(х)-А<ε.                                        (17.9)

 Пусть δ — меньшее из чисел δ1 и δ2. Тогда в δ-окрестности точки x0 выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A  (17.10)

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε. Мы доказали, что для всех ε>0 существует δ>0 и для всех x: 0<|х-х0|<δ и |ƒ(х)-А|<ε, то есть lim ƒ(х)=А при х –> x0.

1-й замечательный предел

lim(x0) sinx/x =1

#4 Бесконечно малые функции

Ф-ция (х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке

равен 0 из этого определения вытекает

следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение

б/м ф- ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-

цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0 при хх0,

а f(x) определена и ограничена ( С:(х)С)=>

(х)*(х)0 при хх0