Теорема о связи б.Б.Ф. И б.М.Ф.

Если (x)-бмф(0), то ф-ция 1/(x)-ббф и наоборот.

Д-во: пусть (x) – бмф при x  x₀, т.е. lim_xx0(x)=0. Тогда

(>0 >0 x: 0< |x-x₀| <  |(x)|< ),

т.е. |1/(x)|>1/(=М).

#5. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция. Док-во: Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a |f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем |αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично. Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если  и  , то  .

Следствие 2. Если  и c=const, то  .

#6 Т. о втором замечательном пределе:

lim(n)(1+1/n)^n=e (1)

lim(n0)(1+x)^1/x=e (2)

Для раскрытия неопределённостей видов  ,  ,   пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

#7 Сравнение роста Б.м.:

Определения. Пусть при   функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:

1. Если   , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).

2. Если   (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).

3. Если   , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми.Эквивалентность записывается так:   .

Основные эквивалентности:

sinxx tgxx arcsinxx arstgxx 1-cosxx²/2

e^x-1x a^x-1xlna ln(1+x)x (1+x)ⁿ-1nx

Доказательство эквивалентности б/м отдельно!

#8 Т. о разности эквивалентных Б.м.: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые. Действительно, так как

  т. е.    Отсюда     т. е. α~ß. Аналогично,   если  то α~ß.

Т. о замене эквивалентных в пределе отношения:

(x)1(x); (x)1(x)lim(xa)(x)/(x)= lim(xa)1(x)/1(x) при xa

#9 Непрерывность ф-ции в точке

Ф-ция y = f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если существует предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке ,т.е. lim_xx0f(x) = f(x_o).

Это рав. Озн. Вып-е 3-х усл.: 1)f(x) определена в точке x₀ и в ее окрест. 2)f(x) имеет предел при xx₀ 3)предел ф-ции в точке x₀ равен знач. ф-ции в этой точке, т.е. вып. равенство lim_xx0f(x) = f(x_o). Т.к. lim_xx0x₀ = x₀, то lim_xx0f(x) = =f(lim_xx0x)= f(x₀). **Ф-ция y = f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в точке x₀ и ее окрестности и вып. рав-во lim_x0y =0, т.е. беск. малому приращ. арг. соотв. беск. малое приращ. ф-ции.

#10 Непрерывность функции на отрезке: функция y=f(x) наз-ся непрерывной на [a,b] если она удовлетворяет определению непрерывности в каждой внутр точки этого отрезка внутри а также сущ lim(xa+0)f(x)=f(a) и lim(xb-0)f(x)=f(b)

Свойства:

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] 

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b)найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0