18.Доказать теоремы:

(1)

S_n= = a₁+a₂+a₃+….+a_n (2)

r_n= = a_n+1+a_n+2+… остаток ряда (3)

Теорема о сходимости остатка ряда:

Если ряд (1) сходится, то остаток ряда (3) тоже сходится.

Дано: S_n=S-конечное число ( - сходится)

Доказать: lim r_n,k= конечное число

a₁+a₂+a₃+….+a_n + a_n+1+a_n+2+…

a₁+a₂+a₃+….+a_k+a_k+1+a_k+2+…

S_k= a₁+a₂+a₃+….+a_k

S_n= a₁+a₂+a₃+….+a_n

r_k= a_k+1+a_k+2+…

r_n= a_n+1+a_n+2+…

S_n= S_k+ r_n,k

r_k= S_n- S_k, S_k-конечное число слагаемых

r_n,k= ( S_n- S_k)= S_n- S_k=S- S_k – конечное число ,(я не знаю как сделать пояснения по ходу,в лекции в кружок обводили,

Поэтому буду в скобках писать S_n=S, S_k= S_k,и еще не уверен насчет того к чему стремятся пределы)

r_n,k-остаток ,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!)

Смысл теоремы: отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость этого ряда

Теорема о сходимости ряда к нулю:

Если ряд (1) сходится, то остаток r_n стремится к 0

Доказательство: S_n=S

= a₁+a₂+a₃+….+a_n + a_n+1+a_n+2+… (S_n и r_n те же что и выше, r_k- остаток ,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!))

Дано S= S_n+ r_n=> r_n=S- S_n

r_n= (S- S_n)=S- S_n=S-S=0

Необходимое условие сходимости ряда:

Для того чтобы сходился, необходимо чтобы a_n=0 (4)

Доказательство: S_n= a₁+a₂+a₃+….+a_n

S_n+1= a₁+a₂+a₃+….+a_n + a_n+1

a_n+1= S_n+1- S_n

a_n+1= ( S_n+1- S_n)= (Если сходится, то S_n=S, S_n+1=S)=S-S=0

Теоремы о действиях со сходящимися рядами:

1)Если = S сходится ,то ряд тоже сходится и =cS

Док-во:

Дано: S_n= a₁+a₂+a₃+….+a_n S_n=S, тогда σ_n= ca₁+a₂+ca₃+….+ca_n= =c(a₁+a₂+a₃+….+a_n)=cS_n, тогда σ_n = cS_n= cS_n

2)Если сходятся ряды = S_A, = S_B, то сходится ( a_n±b_n)= S_A± S_B

Док-во: (S_n)_A= a₁+a₂+a₃+….+a_n

(S_n)_B= b₁+b₂+b₃+….+b_n

σ_n = ( a_n±b_n)= ( a₁±b₁)+ ( a₂±b₂)+…+ ( a_n±b_n)=( a₁+a₂+a₃+….+a_n) ±( b₁+b₂+b₃+….+b_n )= (S_n)_A± (S_n)_B

σ_n = ((S_n)_A± (S_n)_B)= S_A± S_B

19.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Модифицированный признак сравнения(доказать).Доказать достаточные признаки сходимости.\ Даламбера, Коши (радикальный, интегральный)

a_n (1)

1. Всегда имеет сумму

А) Если S – конечна сходится

Б) Если S – бескон рассходится

Необходимое условие сходимости (обычное)

Признаки сравнения

Если a_n b_n, то

a_n- мажорируемый ряд

b_n -мажорирующий ряд

Теорема:

Пусть (a_n<b_n)

1. Если сходится, то и сходится

2. Если расходится то и расходится

Доказательство

(Sn) A=

(Sn) B=

(Sn)A (Sn)B , S_{A B} (2)

Из(2) Если – сходится, то _B -конечная => S_A -конечная < _B => - сходится

Из(2) Если - – расходится, то S_A -бесконечная => _B -бесконечная > S_A => - расходится

Достаточные признаки сходимости

1. Признак Даламбера

Если в ряде (a_n ) =L

L<1-сходится

L>1 расходится

L=1 -??

Доказательство

1. L<1; =L

L<q<1

=q-L>0

< < = q-L

<q

Начиная с

a_N+1<q*a_N

a_N+2<q*a_N+1<q²a_n

a₁+a₂+a₃+…a_N+a_N+1+a_N+2+… (4)

a_N + q*a_N+q²a_N+q³a_N+… (5)

начиная с номера члены ряда (1)<(2)

а ряд (2)-геометрическая прогрессия со знаменателем q>1

= - кон.число по теореме сравнения в форме неравенства

L>1; =L члены с каждого номера члены ряда возрастают a_n+1>a_n, т.е. не выполняется НУС

а значит ряд расходится

в) L=1-???