Гильбертово пространство с непрерывным базисом

Базис ортов

,

где . Номер ортаk пробегает непрерывные значения в интервале .

Условие ортонормированности базиса. Непрерывность k приводит к замене символа Кронекера в условии (0.6) на дельта-функцию

, (0.11)

где – дельта-функция.

Разложение функции по непрерывному базису

, (0.12)

где проекция на орт , или спектр:

. (0.13)

Совпадение спектров функций означает равенство функций.

Доказательство (0.13)

Подставляем (0.12) в (0.13)

.

Меняем порядок интегрирований по x и k, считая интегралы существующими. Используем условие ортонормированности (0.11) и фильтрующее свойство дельта-функции

.

Получено тождество и это доказывает формулу (0.13).

Условие полноты базиса

. (0.14)

Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.

Теорема Парсеваля

. (0.15)

Предполагается, что интегралы в левой и правой частях (0.15) существуют. Доказать самостоятельно с помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).

Рассмотрим непрерывный базис из гармонических функций.

Преобразование фурье

Для наблюдателя на Земле планета, от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершает неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу. Древнегреческий математик Аполлоний представил в III в. до н.э. сложное движение планеты в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам.

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французом Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г. Переход от функции к набору ее гармонических проекций, или спектру, называется преобразованием Фурье.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

Бесконечномерный базис гармонических функций

, ;.

Орт является решениемволнового уравнения Гельмгольца

и описывает плоскую волну

,

движущуюся вдоль оси x с волновым число k.

Герман Гельмгольц (1821–1894)

Базис с непрерывным спектромудовлетворяет:

условию ортонормированности

,

и условию полноты

.

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

Преобразование Фурье функции является ее разложением по базису , спектр функциивыражается подобным преобразованием

, (1.1)

. (1.2)

Использовано:

–оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую отk;

–оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую отx;

–фурье-образ или спектр функции ;

k и x – фурье-сопряженные переменные, – безразмерная;

–ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

Преобразования (1.1) и (1.2) существуют, если функции иквадратично интегрируемы, то есть существуют

, .

Эти величины в ряде важнейших приложений имеют смысл полной вероятности и полной энергии, соответственно.

Преобразование Фурье применяется во многих областях науки и техники. Решаемая задача, подвергнутая преобразованию Фурье, часто оказывается проще своего исходного варианта и допускает решение.

Преобразование Фурье технически реализуется, например, колебательным контуром входного каскада радиоприемника, телевизора, телефона. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье на основе оптических устройств.