Гильбертово пространство с дискретным базисом
Гильбертово пространство образуется множеством комплексных, квадратично интегрируемых функций, для которых определено скалярное произведение. Введено Гильбертом в 1910 г. Строится аналогично векторному пространству.
Давид Гильберт (1862–1943)
Базис ортов – совокупность функций
,
,
N – размерность пространства – конечное или бесконечное число;
– комплексная,
квадратично интегрируемая функция,
определенная на интервале вещественного
аргумента
.
Скалярное произведение является интегралом по области определения функций
,
(0.5)
где
– вещественная весовая
функция;
– комплексно сопряженная функция.
Комплексное сопряжение является преобразованием, обозначаемым знаком *. Определяем:
вещественная
единица
,
мнимая
единица
,
,
.
Комплексное
число a
складывается из вещественной части
и мнимой части
,
тогда
,
где
– модуль числа; φ – фаза числа.
Квадрат модуля числа
,
фаза числа
.
Представление комплексного числа a точкой на плоскости.
Формула Эйлера
Откуда получаем
,
,
,
.
Формулу получил Эйлер в 1740 г.
Леонард Эйлер (1707–1783)
Условие ортонормированности базиса функций
.
(0.6)
Разложение функции по базису
,
(0.7)
где
– множество проекций, или спектр
функции
f(x).
Проекция функции
на орт
.
(0.8)
Подстановка (0.8)→(0.7) дает тождество
,
если базис полон.
Условие полноты базиса
,
(0.9)
где
– дельта-функция,
Фильтрующее свойство дельта-функции
,
где
.
Теорема Парсеваля – является аналогом теоремы Пифагора в пространстве функций – квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его проекций
,
(0.10)
где
,
.
Предполагается, что интеграл и сумма в (0.10) существуют. Теорему получил Мари-Антуан Парсеваль в 1799 г.
Доказательство
Подставляем (0.7)
в левую сторону (0.10)
.
Меняем порядок суммирований и интегрирования, считая суммы конечными. Вычисляем интеграл, используя ортонормированность базиса (06):
.
Фильтрующее свойство символа Кронекера снимает одну сумму
,
получаем теорему Парсеваля
.
Гильбертово пространство с непрерывным базисом
Базис ортов
,
где
.
Номер орта k
пробегает непрерывные значения в
интервале
.
Условие ортонормированности базиса. Непрерывность k приводит к замене символа Кронекера в условии (0.6) на дельта-функцию
,
(0.11)
где
– дельта-функция.
Разложение функции по непрерывному базису
,
(0.12)
где
проекция на орт
,
или спектр:
.
(0.13)
Совпадение спектров функций означает равенство функций.
Доказательство (0.13)
Подставляем (0.12) в (0.13)
.
Меняем порядок интегрирований по x и k, считая интегралы существующими. Используем условие ортонормированности (0.11) и фильтрующее свойство дельта-функции
.
Получено тождество и это доказывает формулу (0.13).
Условие полноты базиса
.
(0.14)
Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.
Теорема Парсеваля
.
(0.15)
Предполагается, что интегралы в левой и правой частях (0.15) существуют. Доказать самостоятельно с помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).
Рассмотрим непрерывный базис из гармонических функций.